AB' ^« AB' '» AB
et, par suite, en appliquant un théorème connu, T-4-T,4-T, AB* P ÂB*
r.V r,/ = ou —
T-^'l,-^'i^ AB'* *" AB'
Io6 GÉOMÊTRIR DANS l'eSPACE.
mets du polyèdre; il faut démontrer Tégalité
Considérons d'abord une figure plane formée de polygones convt'^tjuxtaposés sans laisser de vides, et désignons par F', S', A' le noml-r des polygones, celui des sommets et celui des côtés. Décomposons « * polygones en triangles à Taido de diagonales menées, dans chacun d'en d'un sommet aux sommets non voisins, d étant le nombre total <>* diagonales, F' h- rf sera le nombre total des triangles, A' -i- rf le nomirtotal des côtés ; le nombre S' des sommets sera resté le même. Suj-p» sons maintenant que l'on enlève successivement les différents trian::'A? sauf un, en commençant par ceux qui reposent sur le bord et e': continuant par ceux dont un ou deux côtés auront été amenés, par '^■ suppressions déjà faites, à faire partie du contour extérieur. Soit / • nombre des triangles qui, au moment où on les enlève, ont un côlô si^' le bord, et t" celui des triangles qui en ont deux. La suppression à ' ' triangle du premier genre détruira seulement un côté et celle à^s^ triangle du second genre détruira deux côtés et un sommet.
Par suite, quand on aura enlevé tous les triangles, sauf un, le nom'rt des triangles détruits étant t' -{- «', celui des côtés détruits sera t' -^ -'•' et celui des sommets supprimés sera t". Donc, comme le nombre tJf' triangles restants est alors égal à i et que celui des côtés restants, au^'' bien que celui des sommets restants, est égal à 3, on aura
(2) F-hS'-A'=i.
Ce lemme établi, revenons au polyèdre convexe. Si on supprime 1"'' des faces, les faces restantes, dont le nombre sera F— i, pourront t'^*' considérées comme formant une suite de polygones convexes juxliijw-'"'' et renfermés dans le contour de la face supprimée, et nous pourrons raisonner sur ce réseau comme s'il était plan, puisque le Ihéorèoie i»' dépend que des nombres des polygones, des sommets et des arci<^- La relation (a) doit donc être satisfaite par les valeurs
on tombe ainsi sur la relation (i), qui est duo à Euler {Mémoires t' Pétersbourg, 1758) (»).
GOnOLLAIRES.
689. Désignons par f, ^,/7, //, //', o, . . . les nombres des faces iriaBg" laires, quadrangulaires, pentagonales, hexagonales, heptagonales, ocli^
(') P'oir une autre démonstration, après la mesure des aire* spheriq»**'
'^S GÉOMÉTRIE BANS L'bSPAGB.
THÉORÈME
692. Dans tout palyèdre convexe ^ le nombre des faces enangnlaires, augmenté de celui des angles triêdres, est au moins égal à huit.
En effet, si dans la relation (i), qu*on peut écrire
on remplace F par la valeur (a), S par la valeur (4), et 4 A parlasoma des valeurs (3) et (5), on trouve
D'aprèà cela, // n existe aucun polyèdre connexe qtd ne renferme m U^' triangulaire y ni angle trièdrr.
THÉORÈME
693. i" // n existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces ai'' plus de cinq côtés ; 2^ il n^ existe aucun polyèdre connexe dont toto »•" angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.
En effet :
i' Si, dans l'inégalité 2A> 3S, qui résulte de la comparaison dft^ ^ lations (4) et (5), on remplace A et S par les valeurs (3)et (yj^onlr^'J'la formule
qui prouve que t, q et p ne peuvent être nuls à la fois.
2** Si, dans l'inégalité 2 A > 3F, qui résulte de la comparaison (k? ^" lations (2) et (3), on remplaceA et Fparles valeurs(5) et (ej.ontn^- Ia formule
qui prouve que T, Q et P ne peuvent être nuls à la fois.
SCOLIE
694. La symétrie de la formule d*Euler par rapport aux nombres F et la similitude des équations (2) et (4)f (3) et (5) entraînent dan^ relations qu'on peut en déduire une corrélation que le lecteur asan?<' déjà remarquée.
THÉORÈME
695. // ne peut exister que cinq espèces de polyèdres convexes toutes les faces aient le même nombre n de côtés et dont tous ki <* -• polyèdres aient le même nombre m d^arétes*
IIO GfiOMÉTRlÊ DANS l'bSPACB.
Chaque côté appartenant à deux faces, la parenthèse est égale à lAc* 1*00 obtient la formule
4(A-F) ou 4(S — 2),
d'après le théorème d*Euler.
CONDITIONS d'égalité ET DE SIMILITUDE DE DEUX POLYÈDRES COIVTDrv
LEMME
697. Si, dans un angle polyèdre convexe dont toutes les faces /W* une seule demeurent constantes, un ou plusieurs angles dièdres non n> jacents à la face qui peut varier augmentent ou diminuent tous à hfc'cette face elle-même augmente ou diminue.
Fi(j. 38a.
Soient (fg. 382) l'angle polyèdre SABCDEFet, dans cet angle, SAB'J seule face qui puisse varier. Supposons d'abord qu'un seul angle dièdre îîi' augmente ou diminue. Menons les plans ASD, BSD. Les deux ang'^^ P^' lyèdres SBCD, SADEF ne changent ni de forme ni de grandeur, d'apri-? les conditions de constance imposées à leurs faces et à leurs angles diètirt^ Par suite, si l'angle dièdre SD augmente ou diminue, ce ne peut être q^^ par sa partie ASDB ; et, comme ce dernier angle dièdre est compris dan^ l'angle trièdre SABD entre deux faces invariables de grandeur, la f*^ opposée ASB augmente ou diminue (S69).
Si plusieurs angles dièdres non adjacents à la face ASB augmeol^^^ diminuent à la fois, il en sera de môme de cette face ; car on peut i^^ varier isolément, et l'un après l'autre, les angles dièdres considérés^d'après ce qui précède, chaque changement partiel en produira toujoQî^ un de même nature sur la face ASB.
Corollaire. ]
698. Si, toutes les faces demeurant constantes, certains dièdres do^ angle polyèdre viennent à changer, il est impossible que tous varient dao^ le même sens, c'est-à-dire qu'il est impossible que tous augmentent ^^ que tous diminuent.
112 GÉOMÊTRIB DANS l'eSPAGB.
Remarquons qu'en faisant ]e tour de chaque sommet ou en faisant ceW^ du périmètre de chaque face on doit trouver le même nombre total d^ variations de signes. En effet, chaque variation de signes autour d'uo sommet correspond à deux arêtes de signes différents qui se suivent s^r le périmètre d'une même face, et réciproquement.
Mais, sur un périmètre, le nombre des variations ne peut dépass^^r ii' nombre des côtés et ne peut être impair; car, puisqu'on doit revenir au point de départ, chaque variation en entraine nécessairement une î^conde. Chaque faco triangulaire ne peut donc fournir plus de deux chargements de signes; les quadrilatères et les pentagones ne peuvent tu fournir plus de quatre; de même, les hexagones et les heptagones plus yk six, et ainsi de suite. Toutes les faces ou tous les sommets du polyèiirt: ne pourront doiic donner plus de changements de signes qu'il n'y a d'unités dans la somme
Or cette somme est inférieure à 4 S ; car on a ( 690 ), d'après la formule ( ; , 4S:= 8-i-2/-h47^-6/?"t-8//-h lo/i'-r- lao -+- ....
II faut en conclure qu'il est impossible que les inclinaisons sur les arôu> changent toutes à la fois.
« Si Ton suppose, en second lieu, que, dans le polyèdre donné, non- » seulement les faces, mais encore les inclinaisons sur plusieurs aréti^ » restent invariables, et que cependant on puisse, sans détruire le ^ro- » lyèdre, faire varier les inclinaisons sur les arêtes restantes, alors, pour » démontrer l'absurdité de l'hypothèse, il sufGra de concevoir la surface » du polyèdre décomposée en autant de portions que les arêtes sur les- » quelles les inclinaisons varient forment de contours différents, et d apn pliquer aux portions, aux arêtes qui les terminent, et aux soomiet.^ A compris entre ces arêtes, les mêmes raisonnements quenousavons ap- A phqués^ dans l'hypothèse précédente, aux faces, aux arêtes et aux som- » mets du polyèdre ( • ). » On y parviendra eu s'appuyanl encore sur 1. lemme précédent et sur le scolie du n** 691.
Corollaires.
701. 11 suit du théorème précédent que deux polyèdres convexes, cosupris sous un même nombre de faces égales, sont égaux ou symétrique^ ^ suivant que les faces égales sont ou non semblablement placées.
702. 11 suit encore du théorème précédent que, lorsque dettx poiyédm convexes sont compris sous un même nombre de faces senibiaÛef, le
(*) Caucuy, loc, cie.
Il4 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
» toujours un prisme dont les arôles ou côtés n'auront pas changé. D:J » Ton voit que les arôtes seules ne suffisent pas dans ce cas pour déU'r- » miner le polyèdre. Les données qu'il convient de prendre sont cel!t> » qui ne laissent aucune indétermination ('). »
a° La nature du polyèdre n'est pas déterminée, et l'on connaît seuù^ ment le nombre de ses sommets.
Prenons trois de ces sommets à volonté en construisant un triangle ^'il entre trois des éléments donnés. Si Ton considère ce triangle coninv base, il y a S ~ 3 sommets hors de cette base, et la détermination (i** chacun d'eux exige trois conditions. Le nombre cherchô est donc ^> 3-t-3(S-3) ou 3S-6.
SCOLIR.
704. Si un côté et A — i angles déterminent un polyèdre de nalar? donnée, un autre côté pris à volonté et les mômes angles déterminent ut polyèdre semblable au premier. Donc, pour que deux polyèdres tk m^^^ nature soient semblables ^ il faut A — i conditions.
Si les deux polyèdres ne sont pas de nature déterminée, et s'ils oci seulement le môme nombre S d'angles polyèdres, il faut 3S — 7C0Dii!tions pour qu'ils soient semblables.
RELATION ENTRE L* ÉTENDUE D'uNE FIGURE PLANE ET CELLE DB Si
