PROJECTION ORTHOGONALE
TIIÉORËME.
705. La projection d^une droite AB sur un axe XY est égale auprduit de la longueur AB de cette droite par le cosinus de l'angle fi'S'' * qu'elle fait avec l'n.re.
Fig. 383,
Fip. 38 '|.
Nous supposons ici (y%. 384) que la droite AB et l'axe XY ne so^'-''
(') Legendre, Éléments de Géométrie, i4' édition. Note VIII.
llG GBOUGTRIE DANS L'EStÀCB.
707. Le théorème s'étend h la projection de l'aire d'un pafygnnf f-l'^» et mime d'une courbe plane fermée.
Il suffit de faire voir que la proposition a lieu pour un polygone, poi?qn'une courbe n'est qu'un polygone d'un nombre infini de côtés infio ment petits.
Or, soient T, T', T', ... les aires des triangles qui composent le polygone plan P et t, i', i",. .. les triangles correspondants du polygone /j. qui est la projection de P ; cliacun des triangles de la deuiième sériff i'.-: évidemment la projection du triangle correspondant de la première, et ji l'on appelle a l'inclinaison du plan du polygone P sur le plan de projection, on a
/ = TcoSB, ('=T'cosa, (• = T'coso, ...,
d'où, en ajoutant,
(^. ^^.('^. ... =fT-+-T'-i-T'-H...)cosa ou p = Pcosa.
CENTRE DBS niHTAnCES PROPOBTtONN ELLES.
708. Soient A et B deuï points donnés, a un coefficient ou nombre Bie. d'ailleurs positir ou négatif, correspondant au point A, et € un coeŒciet E relatif au point B. On sait que, sur la droite indéfinie qui pas^ pu les points A et B, il existe un point unique M tel, que le rapport ^^ so^t
égal en grandeur et en signe k ■ Projetons les trois points A, B. M
sur un plan quelconque P, parallèlement à unedirection donnée arbitmirement, et proposons-nous de déterminer la longueur de la projetante UM, ou I du point M en fonction dos coefficients o et 6, et des projektoies AA, = a et BB, =b des points A et B.
Il y a deux cas ï distinguer, suivant que les coefficients a et € sont d« mCme signe ou de signes contraires.
rifi. 38;. riff. 388.
Dana le premier cas [fg. 387), le rapport — r est négatif, et. par
It8 GËOMeTRIt DANS l'eSPACE.
a, b, z étant lea projelaotes relatives au plan P. Donc la rormule
(cn-e)B = aa + 6e subsiste dans loua les cas.
710. Cela posé, soient A,B, C, D ,. .., L autant de points qu'on voudra, situés d'une manière quelconque dans l'espace ; désignons par ce, S. 7, S,..., J les coefficients correspondants, et para, 6, r, il,...,l les norobr» posilife ou négatifs qui mesurent les droites projetant obliquement ou orthogonalemenl les points A, B, C, D,..., L, sur un plan quelconque P.
Sur la droite AB {Jig. 389 ] prenons le point H, tel, que
La projetante 2, de ce point sera, en grandeur et en signe,
UenonsUiC et prenons sur cette droite le point M, tel,qua
La projetanto 2,
de ce point sera
En menant de
tel, que
même U,D et prenant b M, M, S
ur cette droite
un
point
et continuant ainsi jusqu'au dernier point L, on obliendn point M dont la projetante t aura pour expression
I20 GfiOKftTBIE DA»!! L'ESPAO.
lanlcs de M et de Z. On aura, par la Tormule ('i). d'où, en posant ln = ji.
Le point Z est donc le centre des distances proporJionnelles de? [^' M, B,, B,, ..., quand on donne à M un coeDicient égal à (i.
Ainsi, lians la recherche du centre des distances pm/mrlinnnelL-! •! système de points, on peut renij/lacer plmifurs de ces fioints piir '■' centre partiadivr, ptiurvii qiion lUmne n ce centre un coejficieni cg'il •' ■ somme des coefficients des points correspondants.
Inversement, on peut remplacer un point par plusieurs autres, <■ ' il est le rentre, et dont In somme des cneffitients est fgale à son r'. fïcicnt,
