LIVRE VIL

LES CORPS RONDS, g I. - CYLINDRE DE RÉVOLUTION.

DtFINITIO^S.

734. On nomme surface cylindrique de révolution la sui- Tace engendrée par une droite GG' qui tourne autour d'une droite (Ixe W à laquelle elle est parallèle et invariablement liée(/ff.4o,).

La droite (Ixe XX.' reçoit le nom iVaxe de la surface, et la droite mobile GG' celui de génératrice ou barète.

735. Tout point A de la dioite GG' décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre est sur l'axe; car, pendant la rotation, la perpendiculaire AO aljaissée du point A sur XX' reste perpendiculaire à cet a\c et conserve toujours la même longueur.

riij. ^oi.

On appelle section droite tome section faite par un plan perpendiculaire i l'axe. Il résulte des considérations précédentps que tes diverses sections droites d'une même surface cylindrique sont des circonférences égales : le rayon commun de

l38 fifiOHËTRIB UNS l'eEPICS.

ces cercles, c'est-à-dire la disiance des deux parallèles XX' et GC, esl le rayon de (a surface cxUndrique, ei l'on voii que le lieu des poinU de l'espace situés à une distance donnée tCune droite fixe est la surface cylindrique de révolution qui a celte droite pour axe et la dislance donnée pour rayon.

736. Considérons une droite lixe XX', un plan P parallèle à cette droite, et désignons par R lo distance de la droite au plan, ou, ce qui revient au môme, la distance de la droite à sa projection AA' sur le plan {Jig. 4o3). Le lieu des poi:its du plan P, situés à une distance donnée 6 de la droite XX', se compose de deux droites BB' et CC parallèles à XX'. placées de part et d'autre de AA', et à une distance de celle droile égale au cdté AB de l'angle droit d'un triangle rectangle OAR. dont l'hypoténuse OB est égale à d, et l'autre côté OA de l'angle droit égal à B. Il en est ainsi tant que S est plus grand que R ; lorsque 6 devient égal ou inrérieur à H, le lieu se réduit à la droite AA' ou cesse d'exister.

D'après cela (735), un plan parallèle à l'axe d'une surrace cylindrique de révolution renrerme deux génératrices de celle surface, ou une seule, ou n'a aucun point commua avec li surface, suivant que la distance du plan à l'axe est inférieure, égale ou supérieure au rayon de la surface.

Flg. 4oi. Fis. 4o3-

737, Arrêtons-nous un moment sur le cas où le plan et la surface n'ont en commun qu'une génératrice AC [fig, 4o3'.

Un tel plan peut ^tre considéré comme la position limite d'un plan variable qui, passant par la génératrice fixe AC et par une génératrice voisine A'C, tourne autour de AC juaqu'i

LIVRI TH. — LIS COBPS lOtISS. iZçf

ce que A'C vienne, en restant sur la surface cylindrique, se confondre avec AC. Cela éUnl, soit BB' une courbe quelconque tracée sur la surface cylindrique; la sécante BB', qui unii les points B et B' où la courbe rencontre les génératrices AC et A'C, reste constamment dans le plan variable ACA'C; d'ailleurs, cette sécante devient la tangente BN à la courbe BB', lorsque la génératrice mobile A'C vient se confondre avec AC, c'esi-à-dire lorsque le plan variable ACA'C atteint sa position limite; donc ce plan limite contient la tangente BN. Ainsi, le plan limite considéré renferme les tangentes k toutes les coiirhes que l'on peut tracer sur la surface, aux points où ces courbes rencontrent la génératrice AC; on lui donne le nom de jilan langent suivant la génératrice AC.

La génératrice AC, et la tangente à une courbe quelconque tracée sur b surface au point où cette courbe rencontre AC, suffisent pour déterminer le plan langentsuivant cette génératrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à la section droite AA', on voit que le plan tangent est perpendiculaire au plftn déterminé par l'axe et par la génératrice de contact; en eiïet, le plan tangent renferme la droite AM qui, étant à ongle droit sur AO et sur AC, est perpendiculaire à leur plan CAOX.

738. On appelle cylindre de révolution le corps compris entre une surface cylindrique et deux plans perpendiculaires à l'axe de celte surface, ou, en d'autres termes, la (Igure engendrée par la rotation d'un rectangle AA'0'0 autour d'un do ses cités 00' [/ff.4o4).

Fif. 4ol.

Vis. floi-

La surface cylindrique engendrée par le cùté AA' est la surface latérale du cylindre; les cercles décrits par les côtés

l4o GËOMtTBIl DANS l'eSP*».

OA et CA' en sont les baseï, et la droite 00' en esi la haaleur,

739. En construisant un prisme droit, de même hauieur que le cylindre, etayant pour base un polygone inscrit ou cirronscritau cercle de base du cylindre, on obtient un pritme inscrlloit circonscrit au cylindre (Ji^- 4°^]- L^ P'^n de chaque race latérale du prisme circonscrit est langent au cylindre (737). Si te polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base est régulier, le prisme inscrit ou circonscrit au cylindre e!^l régulier.

Considérons un cylindre de révolution et un prisme régulier inscrii. L'aire latérale du prisme s'obtient en multipliant le périmètre de sa base par sa hauteur (609]. Or, quand on Tait croître indéBniment le nombre des cdlés du polygone de base, le périmètre de ce polygone tend vers une limite fixe et indépendante de la loi suivant laquelle ses c6tés tendent vers zéro; d'ailleurs, la hauteur du prisme reste constammenl égale à la hauteur du cylindre. Donc l'aire lalé.rale du prisme insrrit tend vers une limite fixe indépendante de la loi suivant laquelle les cdtés dt! sa base tendent vers zéro : c'est celte Hmiie qoeTon appelle l'aire latérale ilu cylindre.

Considérons en second beu un cylindre de révolution et deux prismes réguliers de bases semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cylindre [fig. i{o5). Le volume du cylindre est compris entre les volumes des deux prismes. Or, ces deux prismes ont même hauteur, et le rapport des aires de leurs bases a pour limite l'unité (M7), lorsque le nombre commun de leurs cétés croit indédniment; par suite, le rapport des volumM des deux prismes tend vers l'unité, et il en est de marne n/oriinri in rapport du volume du cylindre su volume do l'un quelconque de as prismes. Donc fe vnlume d'un cyiimire de rénolulion est la limite eomnmnr des volumes des prismes réguliers de bases seiiibliibUs, inscrit et circoAlerit, dont on fait croître indéfimmeat le nombre des faces.

Il importe de remarquer que ce dernier énoncé est un véritable thc"réme, tandis que l'énoncé de l'alinéa précédent relatif â l'aire n'est uuune d^nition.

740. Deux cylindres de révolution sont dits ie/n6/a6/<'*, lorsqu'ils sont engendrés par des rectangles semblables, c'està-dire lorsque leurs hauteurssoni entre elles comme les rayons de leurs bases.

LiïilB Tll. — LB3 COHPS HOKDS. 141

741. L'aire latérale d'un cylindre de révolution a pour me~ tuie le produit de la circonférence de ta base par sa hauteur,

L'uire laiérale du cylindre est la limite des aires latérales des prismes réguliers Inscrits dont le nombre des Taces croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, H l'aire latérale, la circonrérence de base et la hauteur du cylindre considéré; soient i cip l'aire latérale et le périmètre de la base d'un prisme régulier inscrit. On a (609)

Lorsqu'on fait croître ïndéllniment le nombre des côtés de la base du prisme, m tend vers S et ^ vers C; on a donc, à la limite,