On appelle surface conique de révolution la surtice

engendrée par une droite (iSC tournant autour d'une droiie

fixe XS\' qu'elle rencontre en un point S, ei à laquelle elle

esl Invariablement liée [fig. 4o8).

Fig. 408.

La droite Oxe XX.' reçoit le nom d'axe de ta surrace, et )i droite mobile GG' celui de génératrice ou d'aréle. Le point ?. qu'on nomme sommet, divise la surface conique en deux parlies indéfinies qu'on appelle nappes.

I.e lieu géométrique des droites qui, passant par un point donné S, font un angle donné « avec une droite donnée D, esi une surface conique de révolution ayant le point S pour sommet et pour axe la parallèle menée à D par le point S.

Un point quelconque A de la droite GG' décrit une circonférence dont le centre est sur l'axe, et dont le pian est perpendiculaire à l'axe (733). Par suite, toutes les sections faites par des plana perpendiculaires à l'axe sont des circonférences

■ 46 GËouErniE daka l'espace.

dérer comme la position lîmiie d'un plan vuriabie qui, passant par la génératrice fixe SA ei par une génératrice voisine SA', (ourne autour de SA jusqu'à ce que SA' vienne se confondra avec SA. On voit dès lors, par un raisonnement identiquecelui qu'on a Tant pour le cylindre [737), que ce plan renfenu" les tangentes AM, UN,. .. à toutes les courbes AA', VB", — que l'on peut tracer sur la surface, aux poinls A, B, . . , où h génératrice SA rencontre ces courbes. On donne à ce plan le nom de plan langent suivant la génératrice SA.

La génératrice SA et la tangente à une courbe quelcon<juc tracée sur la surface, au point où cette courbe rencontre &A. suffisent pour déterminer le plan tangent suivant cette pénéralrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à une «^' tion AA' perpendiculaire à l'axe, on voit, comme pour le ry lindre, que le plan langent est perpendiculaire au plan d^tei miné par taxe et la génératrice de contact.

751. On nomme cône de révolution le corps engendré |U' la rotation d'un triangle rectangle SOA autour de l'un des rô lés SO de l'angle droit SOA [Jig. 4 1 1 ).

La surface conique engendrée par l'hypoténuse S.A est ^> surface latérale du cône; le cercle décrit par le côté 0.\ e?i la base, la droite SO est la hauteur, et l'hypoténuse SA est U côté ou Yapothème de ce cône.

Hc. flii. Fie- 4n.

752. Si l'on coupe une surface conique de réroluliim {Jig, 4i I ) par deux plans AB, A'B', perpendiculaires à l'a^i-

LITRE Vil. — LES COBPS ROHDS. 1^"]

ei sïiuég d'un même cùté du sommel S, on obiieni un volume lormf né par une porlion de la surface conique, e( par les deux cercles AB, A'B'. Ce corps, que l'on nomme ironc de cône de révolution à bâte* parallèles, est la différence des deux cônes SAB, SA'B'. On peut encore le considérer comme engendré parla rolallon du trapèze rectangle AOO'A' autour du cdlé 00'. La droite 00' est la hauteur du tronc; les cercles AB, A'fi' en sont les bases et A A' en est le côté ou Vapotltème.

En coapaol une aurrace conique de révolution par deux plane AB, A|Bi, perpendiculaires à l'axe, mais situés de part et d'autre du sommet S (J!g. 4i)), on obtient un corps qui est la somme des deux cAnes SAB, SA,B,.II convient de donner encore à re corps le nom de tronc ttc cOne; maie, pour le distinguer du tronc de cône proprement dit, que nous avons déSni dans l'alini^B précédent, nous l'appellerons tronc de cône tir secomle rsftéce (650).

753. En construisant une pyramide de même sommel que le cône, et ayant pour base un polygone Inscrit ou circonscrit au cercle de base du cône, on obtient une pyramide inscrite ou circonscrite au cône [fig- 4 '2], Le plan de chaque face latérale de la pyramide circonscrite est tangent au cône. Si le polygone de base est régulier, la pyramide inscrite ou circonscrite est régulière.

Un appelle nirc luiériili- d'au cé/ieh limite de l'aire latérale d'une pyramide régulière inscrite dont le nombre des faces croit indéfiniment. On lêgiiime cette itéJîniUun en montrant que la limite considérée esisle et est indépendante de la loi Euivsnl laquelle les cdiÉs de la base de la pyramide tendent vers zéro. Le raisonnement est analogue à celui qu'on a employé pour le cylindre {'39) ; seulement, tandis que la hauteur du prisme inscrit au cylindre reste fixe, l'apothème de la pyramide régulière inscrite au cône est variable et tend vers l'apothème du cùne.

On </cwro/ifrr, absolument comme dans le casdu cylindre, que levolmiie tl'an cône de révolution est la limite commune des volumet des pyraiiiidct r^gulièm de bâtes srmbUibles, inscrite et circonscrite, dont on fait crottre indéfiniment le nombre des faces.

^V*. Deux cônes de révolution sont dits temblables lorsqu'ils sont engendrés par des triangles rectangles semblables, c'est-à-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons des bases.

IqS GËOXSTBIB DINS L'ksFACE.

THÉORÈME

7S5. L'aire latérale d'un cône de révolution a pou, le produit de la circonférence de sa base par la moitié de ton apothème.

L'aire latérale du c6iie est la limite des aires latérales des pyramides régulières inscrites dont le nombre des faces croît iDdéfininient. D'après cela, soient S, C, A l'aire latérale, h circonférence de base et l'apotbème du cône considéré, eti, p, a l'aire latérale, le périmètre de la base et l'apothème d'une pyramide régulière inscrite. On a (6I»0]

Lorsqu'on foil croître indéflnimenl le nombre des eûtes de h base de la pyramide, * lend vers S, p vers C, a vers A; on 3 donc, à la limite,

Corollaire.

75G. Si K est le rayon de la base du cdne, on a C =: arrC, et par suite

S = jtllA.

En ajoutant la base tiU', on a, pour l'aire totale, T = 7thA-t-rl{'r=7rIt(A + R}.

757. En raisonnant comme au n" 743, on reconnaît que les aires latérales ou totales de deux cônes de révolution semblables sont entre elles comme les carrés des rayons ou des apothèmes ou des hauteurs.

758. Considérons ud cane de révolution et une pyramide régulière inscrite SABCDBF [fig. 4[3);paruae roUlion autour de l'arête SB, imenons la face SAB dans le prolongement de la face SBC ; puis, par une rotition autour de SC, amenons les deux faces déjà réunias dans le prolongement de la face suivante SCD; et ainsi de suito jusqu'à ce que toutes la faces latérales de la pyramide soient réunies dans le plan de la dernière