LIT» VII. — LIS CORPS RONDS

d'eDlre elles FSA. On obtiendra ainsi un secteur polygonal régulier S,A,B,C,I>,E,F,A, {fig.iii), ayant pour rayon l'ai^te de la pyramiile

régulière, c'est-à-dire l'apothème du cône, et pour base une ligne brisée régulière A,B,C, D,E, F,A, égale au périmètre de la base de la pyramide. Si le nombre des faces de la pyramiile régulière inscrite dans le cène croît indéfiniment, le Bccteur 5,A,B,C, n,E,F,A, cans«r\c le même rayon, et la base dégénère en un arc de cercle ayant une longueur égale à celle (Je la circonférence du cène. Le secteur circulaire S, A, D,A, obtenu est dit le tléreh/ipeiierti de l'aire latérale du cône. Il est aisé de calculer le nombre a de degrés contenus dans l'angle A, S, A, de ce secteur circulaire. A étant l'apothème du cdne et R le rayon do sa base, on a

d'où

- 3Co°V.

Pour Ai=2tt,on a/i= i8o°, de sorte que te di.We1oppement est un demi cercle. Le cône correspondant esl d\l équihtéml ; sa section [«run plan passant par l'axe 50 est un triangle équilatéral SAD.

THÉORÈME

759, L'aire latérale d'un tronc de cône de révolution à hases paraltèht a pour mesure le proditil de la demi somme des circonférences de tes basps par son apothème.

L'aire latérale du tronc de cône AU D'A' [fig.^\5) cstladiTrérence des aires latérales des cônes SAD, S A'D'. Cela posé, in-

GtOMtTillI Dkta l'iSPACB,

scrivons dans le cône SAD une pyramide régulière SA.BCDEFj le plaa A'D' de la base supérieure du tronc de cône décompose celle pyramide en deux parties quisonl, l'une, SA'B'C'D'E'F', une pjramide régulière inscriie dans le cône SA'D*, l'autre. ABCDEFA' B'C'D'E'F', un tronc de pyramide régulier inscrii dans le tronc de cône ADD'A'. Or les aires latérales des cônes SAD, SA'D' étant les limites des aires latérales des pyramides SABCDEF, SA'B'C'D'E'F', lorsque le nombre commun de leurs faces croît indéfiniment, l'aire latérale du tronc de cône sera égale à la limite de l'aire laLérale du tronc de pyramide régulier inscrit. Soient *, a, p, p' l'aire latérale, l'apothème, et les périmètres des bases du tronc de pyramide ; soient de même S, A, C, C l'aire latérale, l'apothème et les circonférences des bases du tronc de cône; on aura (6V1]

Mais, à la limite, lorsque les cùlés du polygone ABCOEF tendent vers zéro, i lend vers S, p vers C, p' vers C, a vers A, et l'on a

COROLLAIBE.

TfiO. Si R et B' sont les rayons des bases du tronc, on a Z = 2 t: R, C = a 7t B', et par suite

LITRE TH. — LBB CORPS HOHDB. l5l

7C1. Par !e milieu A, ducAté AA'(^g-. 4<6]> menons un plan parallèle aux bases du ironc de cône; le rayon A.Oi de la seclion circulaire déterminée par ce plan est parallèle (49S} aux rayons AO, A'O', des bases et, par suite CiSS), égal à la demisomme de ces rayons. Donc la circonférence A, D, est la moyenne arithmétique des circonTérences de base, et l'on peut dire que l'aire latérale d'un tronc de cône de révoliilion a pour meture le produit de l'apothème par la circonférence équidislante des deux bases.

Ce dernier énoncé s'applique aussi au cylindre et au cône ; car la circonférence équidistante des bases est égale, dans le cylindre, à celle de la base, et, dans le cône, à la moitié de celle de la base.

THËORÈUB.

762. Le volume d'un cône de révolution a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Le volume du cane est la limite des vol urnes des pyramides régulières inscrites dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient V, B, II le volume du cdne, l'aire de sa base et sa hauteur ; soient f et fr le volume et l'aire de la base d'une pyramide régulière inscrite dans ce cône. On a (6»3)

Mais, lorsque le nombre des faces de la pyramide crotl indcnnimeni, c tend vers V et £ vers B ; on a donc, à la limite,

CoROLLitlBtS.

763. Si R est le rayon de la base du cdne, on a B ^ n It' et, par suite.

On volt, comme su n" 7^7, que les volumes de deux cônes

■ 53 GfiOHËIBlB DANS l'iSPACR.

de révolution semblables sont dans le rapport des cubes dti hauteurs ou des rayons des bases.

764. Lorsqu'un rectangle ABCD tourne autour de l'un ()■; ses côtés AB (yîg. 4i;), le triangle ABC engendre un (une

dont le volume est le tiers (745, 762) de celui du cjlintire engendré par le rectangle ABCD. Par suite, le volume engendri" en même temps par le triangle ADC est les deux tiers du mèmi' cylindre. Cette remarque nous sera utile plus tard.

THÉORÈME

765. Le volante d'un tronc de cône de révolution à baies parallèles est égal à la somme des volumes de trois cùnr: ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases, lepremierla base inférieure, le deuxième la base supérieure, et le troisième la moyenne proportionnelle entre Ui deux bases du tronc.

Considérons, comme au n" 759, un Ironc de pjraniide rc'gulier inscrit dans le tronc de cône. Les volumes des deux pyramides dont ce tronc de pyramide est la différence ajani respectivement pour limites les volumes des deux cônes «foui le tronc de cftne proposé est la différence, on aura le volum-' de ce tronc de cône en prenant la limite du volume du tronr de pyramide. D'après cela, soient V, b, B, 11 le volume, \i-' bases et la hauteur du tronc de cône, c,, b,, B, le volume r\ les bases du tronc de pyramide inscrit; on aura (648)

».,=="-(B,-*-6, + V«i"^J- Mais, lorsque le nombre des faces du tronc de pyramide cr»U