x(.,8)'^6.5x(o,9r^,,. g g 4îi t

769. La question du jaugeage det tonneaux se rallaclieà la mesure du tronc de cône.

En considérant le tonneau {fig. 4i8) comme la somme it deux troncs de cône identiques opposés par leur grande base, oh aurait )a formule

V = l7tH(R' + r'+Rr).

dans laquelle 11 est la hauteur totale du double ironr, f le rayon

Fin. -l'S-

àu/ond AA', et R le rayon de la grande base BB' à laquelle on donne le nom de bouge. Maïs cette formule âoooe évi-

UÏRK VII. — I^S CORPS RONDS. l55

(Icminenl un résultat trop faible. En introduisant, suivant l'usage, los diamètres A et d au lieu des rayons R et r, et ayant (■•jîanl à l'idcnlilé A'+ o'— aA3 + (A — Ô)', on [leul mettre la

l'orniulc préeédenle sous la forme V= , II Ad h H(A — 5)*.

Dr, le (lernier terme est négligeable; Cîir, son rapport

1 fAriV

■ju précédent, ne dépasse guère un demi-centième dans les i-itnditions ordinaires, ce (jui correspond à une erreur d'un (Ifini-liire par hectolitre.

Mais alors la formule réduite V~ j HA3 est a /ortiori un peti trop faible. Aussi, par compensation, los tonneliers rem- |ilurc'nt-ils le coeflicieni 7 — 0,785 par 0,8; ce qui conduit à la formule très simple V =: (0,8) HAd, qui donne le volume, eu mètres cubes, lorsque H, A, $ sont évalués en prenant le iiiètrc pour unité, Pouravoirlc volume en liectolitres, ilsuflit <lc multiplier par 10 ; c'est ce que l'on fait habituellement, et •111 parvient ainsi à la formule définitive li) V:38llid,

<|iii est généralement employée dans le Midi de la France, et ilont de nombreuses expériences ont permis de constater la sufllsante exactitude. Pour H = o", 756, A = ©""jôg, 3— o»,6i , cette formule donne V = aS/t'i'.

Appliquée aux foudres ou grands tonneaux de looàaoo hectolitres, la formule (1) donne un résultat trop fort, à cause de la forme concave que l'on donne, dans ce cas, aux fonds pour augmenter leur résistance. L'expérience montre qu'il convient alors de diminuer de 4 pour 100, dans les conditions ordinaires, l'évaluation fournie par la formule (1), en entendant par II la distance des deux fonds prise à la partie inféricurc, c'est-b-dire au bas de la porte.

Observons enlln que l'on peut trouver des formules plus exactes, mais en augmentant leur complication ei en faisaiit intervenir un plus grand nombre de v

GËOMfiTIIIB V1K3 L B^PACB.

S III. - PAEUIËRES NOTIONS SDR LA SPHÈRE.

770. On appelle surface spliérique la surface engendrée par la roiation d'une demi-circonférence ABA' aulour du diamètre AA' qui la termine (Jig. 4"!)}«

Dans ce mouvement, tout point de cette demi-cîrconférenre décrit un cercle dont le centre est situé sur l'axe de rotalion AA' et dont le plan est perpendiculaire à cet axe.

La sphère est le corps limité par une surface sphérique- On confond souvent dans le discours les mots sphère ei surface sphérique, de même qu'en Géométrie plane on dit parfois cercle pour circonférence de cercle.

771. Considérons la sphère engendrée par la rotaiioo du demicercle ABA' autour du diamètre AA' et un point quelconque de l'espace. Quand le demi-cercle générateur vient se placer suivant ACA' dans le plan déterminé par AA' el par le porni considéré, il peut se faire que ce point soit comme E à l'extérieur du cercle ACA', ou comme I à l'intérieur, ou eniin comme M sur la circonférence de ce cercle. Daas le premier cas, le point E est extérieur à la sphère, ei sa distance au centre 0 du cercle ACA'esl plus grande que le rayon R de ce cercle-, dans le second cas, le point I est intérieure la spliére et la distance 01 est moindre que R; enlîn, dans le troisième cas, le point M est sur la surface sphérique ei la distance OU est égale à R.

LlïBB ïll. — LES COUPS BONUS. ï5-]

La surface spkérique peui donc êire encore délinie le lieu géométrique des points équidistants d'un point fixe.

Ce poini HxeO est dii le centre de la sphère. Ou nomme rnyon toule droiie, lelle que OA ou OM, menée du centre 0 à la surface; tous les rayons d'une même sphère sont égaux. On nomme diamètre loule droite, telle que MN, passant par le centre et limitée à la surface sphérique ; tous les diamètres d'une même sphère sont é^aux, car chacun d'eux esl la somme de deux rayons.

Deux sphères de même rayon sont égales.

772. La définition donnée au n" 111 pour la tangente' aux courbes planes s'étend aux courbes de l'espace. 11 est aisé de voir, d'après cela, que la tangente MT à une courbe quelconque AMB tracée sur la sphère est perpendiculaire à Vextré~ mité du ray^n OU mené au point de contact. En efia\[fig.^'xo),

Fie- 4:

prenons sur la courbe AMB un point M' voisin du point M, menons la sécante MM'S et joignons le centre 0 au milieu 1 de la corde MM'. Le triangle MOM' étant isocèle, la droite 01 est perpendiculaire sur MM'. Or, lorsque la sécante MM'S tourne autour du point M de manière à devenir à la limite la ui[i({onte MT, le point 1 milieu de MM' se réunit ou point M en niûme temps que le point M'. L'angle GMT, position liniite de l'angle droit OIS, est donc lui-môme un angle droit.

TIIËORÈUE.

77^. Toute section plane de la sphère est un cercle. En effet, les points de la section sont, puisqu'ils appartiennent à la sphàre, situés k la môme distance du centre de cette

GÉOlfiTRIB DIHS L BSPAGB.

sphère; or on sait (91, Sih) que te lieu des points d'un plan équidislants d'un point fixe esl une circonférence de cercle.

ConOLLAISES.

TJk, Si le point fixe 0, qui esl ici le centre de la sphère {J!g. 4^1 )> est situé dans le plan sécant, ce point est le cenif^ même delà section ACR, dont le ra^on ne dilTère pas de cet:. de la sphère.

Si le point fixe 0 est extérieur au plan sécant, le cenlre I de la section DEF est la projection du centre O de la sphér? sur le plan sécant (524). Quantau ra^on lE = r de la seflion. c'est le côté de l'angle droit d'un triangle rectangle OIE doni l'hypoténuse OE esl le rayon B de la sphère et dont l'auire c6té de l'angle droit 01 est la distancée/ du centre de lasphèrt au plan sécant. Ce rayon r résulte donc de la formule

r' == R- - tf.

On est ainsi conduit à diviser les sections planes de la sphcrc en deux classes : les {grands cercles, dont les plans passent par le cenlre de la sphère et qui sont tous égaux entre eut. puisqu'ils ont tous pour rayon le rayon de la sphère; et I» petits cercles, dont les plans ne contiennent pas le centre dr la sphère, et dont les rayons, inférieurs à celui de la sphère, décroissent à mesure que leurs plans s'éloignent du centre di' ta sphère.

Deux petits cercles également éloignés du centre de M sphère sont égaux, et, de deux petits cercles inégalemeni éloignés du cenlre de lasphère, le plu* grand est celui qui al le plus voifin de ce centre.

Ajoutons qu'il faut IroispointiAz la surface spbérique poot

LITKB Vil. — LES C0HF3 RONDS. 169

déterminer un peiil cercle (116, 492), tandis que deux points sufTiseni pour déterminer un grand cercle, attendu que le centre est connu; touierois, dans ce dernier cas, les deux points donnés ne doivent pas élre en ligne droite avec le centre de la sphère, sans quoi le plan du grand cercle, assujetti seulement à passer par un diamètre, pourrait occuper une infinité de positions [&93).

Fie. 4"-

175. Tout gi-and cercle divisa la sur/ace sphériqae et la sphère en deux parties égales, C:ir si, après avoir séparé les deux pariles, on les applique sur la base commune en tournant leur convexité dans le même sens, les deux surFaces coïncideront, sans quoi tous les poinisdela surrace sphérique ne seraient pas à la mâme distance du centre.

776. Deux grandi a^rcles APBP', ABC (Jig. 4a3) se divisent mutuellement en deux parties égales; car le centre 0 de la splière, appartenant à ta Tois aux plans de ces deux cercles, est situé sur leur intersection com'nune, qui est alors un diamètre.

777. Une droite ne peut couper la surface sphérique en plut de deux points. Car cette droite ne peut avoir plus de deux points communs avec la circonférence de grand cercle, située dans le plan déterminé par cette droite et le centre de la sphère.

778. La sphère est de révolution autour d'un diamètre quel' vonque AB. Car la clrconTérence ACB déterminée |iar un plan quelconque passant par AB, ayant môme centre O et même rayon OA que la sphère, engendrera évidemment cette surface en tournant autour de AB [fig. 4^2).

i6o gêouKtbie dans l'egfacc.

779, On nomme pôles d'un cercle de la sphère les e\lT6miles du diamètre de la sphère qui esl perpendicutaire au plan du cercle- Deux cercles DFE, ACB {fg. 4'3)t dont les pions soni parallèles, onl les mêmes pôles P ei P'.

Le cenire I d'un cercle quelconque DE, ses pôles P et P', el le cenire 0 de la sphère sont sur une même perpendiculaire au plan de ce cercle.

Tout grand cercle PFCP' passant par les pôles P ei P' d'un cercle DFE a son plan perpendiculaire au plan de ce cercle. puisqu'il contient la droite PP' qui est perpendiculaire à rc dernier plan.

THÉORÈME

780. Tous les points de la circonférence d'un cercle DFE de la sphère sont à égale distance de chacun des pôles P et P'tif ce cercle.

Fie. ii3.

En elTel. la droite PI, qui joint le pôle P au cenire I au cercle DFE, étant perpendirulaire au plan DFE, les droites PD, PF, PE, ... sont des obliques qui s'écarleni égalemenldu pied I de la perpendiculaire et qui, par truite, sont égales.

On voit encore que les arcs de grand cercle PD, PF, PE, ... sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales.

Enfin, dans le cas où le cercle considéré DFE devient uo grand cercle ACB, la même propriété subsiste: mais les angles droits POA, POC, POB, ... ayant leurs sommets au cenire des grands cercles PAP', PCP', PBP', .... les arcs PA, PC, PB, ... sont tous égaux au quart d'une circoorérence de grand cercle.

SCOLIB.

781. Des deux pôles P ei P' d'un petit cercle DFE, nous ne considérerons désormais, à moins d'avertissement conlrairr.

l62 seOMËtBIU SANS L'KSPACr.

CA, el l'on conslruil sur le papier un triangle abc eyani pour côiés ces trois longueurs. On détermine le centre i du cercle circonscrit au triangle afrr, et la droite ai est égale au rajon Al du cercle ABC. Par suite, si du point a comme centre, avec une ouverture de compas égale à celle qui a servi è décrire le cercle ABC sur la sphère, on décrit un petit arc de cercle jusqu'à li rencontre p de la perpendiculaire pip' élevée en i sur ai, on Torme un triangle api égal à API, et il ne reste plus qu*jt élever la perpendiculaire ap' sur ap pour avoir en pj/ le diimètre PP' de la sphère.

Pour obtenir des résultats précis lorsqu'on n'a à sa disposition qu'une portion de sphère, il faut : choisir le point P à peu près au milieu de la portion de surface dont on dispose, prendre une distance polaire PA aussi grande que possible.ei, enfin, dans tous les cas, choisir les points A,B, C, sur le cerrl<' ABC, de telle sorte que le triangle ABC soit à peu près équilaiéral.

78&. On emploie souvent, pour déterminer le ra;on d'une sphère solide, un instrument spécial, qui est décrit dans les Traités de Physique et qu'on nomme spkéromètre. Cet instrument fiiit connaître le rayon Al=:/-du cercle ABC, et la Oêche PI=: A. La construction graphique plane reste la même; seulement, au lieu de déterminer le point p à l'aide d'un arc de cercle décrit du point a, on prend ip = h. Mais, dans ce cas, on préfère le calcul à la construction graphique; R étant le rayon inconnu de la sphère, le triangle recUngle PAF donne

ÂÏ = 1P.IP' ou r' = A[aR"A),

d'où l'on déduit

THÉORÈME