Tout plan ACB perpendiculaire à i'extrémili d'mt rayon

OC est tangent à la sphère el, réciproquement, tout plan AtlS

- LIS COKPS aOKDS.

tangent à la sphère est perpendiculaire à l'extrêmilé du ngvn OC mené au point de contact G [fig. ^^5).

On dii qu'un plan ACB esL tangent à la sphère lorsqu'il n'a avec celle surface qu'un point commun G, qu'on nomme point de contact.

Cela posé, soti AGB un plan perpendiculaire & l'extrémUé d'un rayon OC. D étant un point quelconque de ce plan.autre que C, CD est oblique à ce plan, et l'on a OD>OG, de sorte que le point D est extérieur à la sphère. Le plan ACB, n'ayant d'après cela que le point C commun avec la surface |;

sphérique, est langent à culte surface. h

Inversement, si ACB est un plan tangent h la sphère au ]'

point C, tout point D de ce plan, autre que C, est extérieur k ||

la sphère, et l'on a OD>OC; donc OC, étant la plus courte !

disunce du cenire 0 au plan ACB, est perpendiculaire sur ce '■

plan.

Corollàihs.

786. Par un point pris sur la surface sphérique, on peut toujours mener un plan tangent à celte surface, et l'on ne '; peut en mener qu'un (516). ,

787. Le plan langenl à la sphère en un point G contient les tangentes en ce point à toutes les courbes qu'on peut tracer

par ce point sur la surface sphérique [772, 521). \

788- Considérons une sphère 0 et un point extérieur S [fig. 4^6). Par la droite OS, menons un plan quelconque qui {

déterminera dans la sphère un grand cercle PAP', ei menons parS une tangente SA à ce cercle. Pendant que le demi-cercle PAP*) en tournant autour de l'axe SO, engendre la sphère, la

l64 GftOMtTBIB DANS l'eSFàOB.

langeiile SA engendre un cdne de révolution qui a eo commun avec la sphère le cercle AB décrit par le point A. De

plus, en tout point M de ce cercle, le c6ne et la sphère ont le même plan tangent; car la génératrice SM et la tangente UT au cercle AB, qui déterminent le plan tangent au cône [750 , sont situées l'une et l'autre (787) dans le plan tangent à la sphère. On dit d'après cela que le cône est circonscrit ù la sphère et que la sphère est inscrite au cône le long du cercle commun AB.

On voit encore par là que, par un point extérieur S, on peut mener une infinité de plans tangents à une sphère 0, et que toutes les tangentes SA , S\f, SB, ... à la sphère, issues du même point S, sont égales.

Si le point S s'éloigne indéfiniment sur la droite PF, lecdne dégénère en un cylindre circonscrit, et le lieu des points de contact de la sphère et de ce cylindre de révolution devient le grand cercle perpendiculaire à la direction PP' des générï> Irices du cylindre.

THÉORÈME

780. L'intersection de deux sphères A et B est une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres AB des deux sphères et dont le centre est sur cette ligne {'fig. ^1-)).

Car cette inieriieclion n'est autre que la circonférence engendrée par la rotation autour de AB du point G cominun aux deux circonférences suivant lesquelles les deux sphères sont coupées par un plan quelconque passant par AB.

LtTUR TH. — LBS COKFS lOlfM. )65

SCOLII.

790. Lorsque deux sphères n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes en ce point, qu'on nomme point de contact; le point de contact est situé sur la ligne des centres, et en ce point les sphères ont le même plan langent (120).

Fi(j. 4î7

Les positions relatives de deux sphères sont au nombre de cinq [122], el les relations correspondantes entre la distance des centres ei les rayons sont celles qui ont lieu pour les circonrérences de grand cercle déterminées dans les sphères données par un plan quelconque passant par la droite des centres.

THËORÈUB.

791 . Par quatre points A, B, C, D, non situés dans un mime plan, on peut faire passer une surface sphérique, mais une seule iJig. 4a8).

Fis. 4ï8.

Il s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé h j

la même distance des quatre points A, B, C, D. )

Or, tout point équldislanl de A, B, C, D doit se trouver sur [

la perpendiculaire FH élevée au plan ABC par le centre F du 1

cercle circonscrit au triangle ABC, puisque cette perpendicu- j

laire est le lieu des points équidistants de A, B, C (524) ; il [

doit aussi appartenir à la perpendîculaireEG élevée au plan ACD |

par le ceatre E du cercle circonscrit au triangle ACD. Comme r

l(34> GâOHÉTBlB DANS L'ESPICI.

deux droites FU, EG ne peuvent avoir qu'un point comniuD, on voit d'aboril qu'il ne saurait jamais exister qu'un seal poini équidistant de A, B, C, D. En second lieu, un tel point exisi? toujours si, confortnément à l'hypothèse, les points A,B,C,D ne sont pas situés dans un mSnie plan. En effet, le plan perpendiculaire sur le milieu K de AC, étant le lieu des poioii équidistants de A et de C, doit contenir EG et FH; d'ailleurs, les deux droites KF et K£, suivant lesquelles II rencontre 1« plans ABC et ADC, se coupent, puisque les plans ABC et ADC sont distincts; donc les deux droites £G et FH, étant situées dans un môme plan EKF, et étant, dans ce plan, perpendirulaires à deux droites KF et KE qui se coupent, ont un point commun 0 qui est le centre de la sphère demandée.

COEOLLAIBES.

792. Deux sphères, qui ont quatre points communs non situés dans un même plan, coïncident.

793. Les perpendiculaires élevées aux quatre faces d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à chacune de ces taces se coupent en un mémo point.

S IV. - PROPRIÉTÉS DES TRIANGLBS SPHÈRIQDES.

794. On nomme angle de deux courbes passant par un même point de l'espace l'angle de leurs tangentes en ce point. L'angle de deux courbes tracées sur la sphère est donc égal «l l'angle des plant menés respectivement par le centre de la sphère et par les tangentes à ces courbes au point commun: car, ces tangentes étant perpendiculaires au rayon qui aboutit au point commun [772], leur angle mesure le dièdre des deux plans considérés. En particulier, l'angle de deux arcs de grand cercle est égal à l'angle des plans decesarcu

THËOBËHE.

795. l'angle APB de deux arcs de grand cercle PAP*. PBP' apourmesure, soit l'arcde grand cercle AU décrit de ton soiih