n joignant le

{Jig. 433} au centre ( OABC, dont les faces que les cdtés corres[ rique, ei dont les an mesure (70i) que les

fjo gBomëirie Dans l'espakk.

remarque s'étend à un polygone sphérique ABCD {Jig. 433} et

à l'angle polyèdre correspondant OABCI).

D'après cela, à chaque pro/iriélé des angles irièdres ou polyèdres répond une propriété analogue des triangles ou polrgones sphériques; et, pour énoncer cette propriété, il sufEide remplacer respectivement les mots /«ce et angle dièdre p»r les mots côté et angle.

Fig. 433. rie- ii33.

C'est même cette marche que l'on suit pour établir les premières propriétés des figures sphériques. Mais plus tard, et pour des propriétés moins simples, il est ordinairement prérérable de Taire l'inverse, c'est-à-dire d'établir directementles propriétés des figures sphériques pour en déduire les propriétés des angles polyèdres correspondants. On raisoDoe en effet sur une surTace, et en particulier sur la sphère, presque aussi aisément que sur un plan, tandis qu'il Taut un cettain effort pour se représenter une figure de l'espace un peu compliquée. L'étude de l'Astronomie ne laisse à cet égard aucun doute, et la conception de la sphère céleste est un des plus heureux artifices géométriques qu'on ail imaginés.

803, Si l'on prolonge les arêtes de l'angle polyèdire OABCD [fis- 4^3) BU delà du sommet 0, on forme un angle polyèdre symétrique OA'B'C'D', qui détermine sur la surface de I1 sphère un polygone A'D'C'D'. Les deux polygones ABCD, A'B'C'D',dont les sommets sont ainsi diamétralement opposés deux à deux, sont appelés polygones sphériques symétriguei. Les considérations développées au n" S66 conduisent aux propriétés suivantes .*

I* Deux polygones symétriques ont leurs angles et leurs côtés égaux tieux à deux ; 2." ces polygones ne sont pas en ^

IIYBI VII. — tBS COBFB H0BD9. I7I

néral siiperposabies, attendu que les parties respectivement égaies sont disposées dans un ordre inverse; 3* pour qu'un t riangiesphérique soit superposableù son symétrique [fig,\'ii),

il faut et il suffit qu'il ait deux angles égaux, et dans un tel

triangle tes côtés opposés aux angles égaux sont égaux t en

d'autres lermes, ce triangle est isocèle.

THÊORËUE.

603. Dans tout polygone sphérique, un côté quelconque est moindre que la tomme de tous les autres.

En effet, soit ABCD le polygone proposé {/g. 433). Dans l'angle polyèdre correspondani OABCD, on a (567)

AOB < HOC -t- COD + DOA.

Donc (127)

arcAB <arcBC + arcCD -t- arcDA.

SCOLIBS.

80V. Dans tout triangle sphérique A1iC{fig.^H], à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.

Fi«. 434. Flg. i35.

Cela résulte de la propriété analogue de l'angle trièdre (568). On peut aussi le démontrer comme il suit. Soit l'angle ABC plus grand que l'angle C; on pourra mener dans l'angle ABC un arc de grand cercle BD qui fasse avec BC un angle DBG égal à l'angle C. Le triangle BDC ayant deux angles égaux DBC, DCB sera isoscèlc (802). et l'on aura BD = DC. Or le triangle ABD donne [803)

AB < AD -v BD et, en remplaçant le câté BD par son égal DC, AD<AD-t-DC 00 AB<AC.