CËONSTUI DINS LB6P&GE

En rapprochani ce théorème de celui qui a élé démontré an n" 802 (3'), on voit que : réciproquement, si un triante sphérique est isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, et si un triangle sphérique a deux côtés inégaux, au plus grand côté est opposé le plus grand an^c.

SOS. De ce qu'un triangle sphérique isocèle est saperposable à son symétrique, il résulte que, dans tout triangle sphérique isocèle, l'arc de grand cercle qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en deux parties égales,

806. Enfîn les propriétés du triangle recliligne, démontrées aux n" ko et 1^1, s'appliquent au triangle sphérique et s'énoncent de même ; il suntt de remplacer le mot droite par les mots arc de grand cercle.

THËORËUE.

807. Ûans tout polygone sphérique convexe , la somme des côtés est moindre qu'une circonférence.

Car la somme des Taces de l'angle polyèdre correspondant est moindre que quatre angles droite (570).

La démonstration directe est d'ailleurs rjcile. Considérons d'abord un triangle sphérique ABC [fig- 435], et prolongeons les cfttés AB et ACjusqu'à leur rencontre A'; les deux arc> ABA' , ACA' sont des demi-circonférences de grand cerc le (776} cl, comme dans le triangle BCA' le côté BC est moindre qur BA' + CA', la somme AB + AC + BC des côtés du triangle ABC est inTérieure à ABA' + ACA', c'est-à-dire à une clrconférencf de grand cercle.

En opérant d'une manière analogue sur un polygone, c'està-dire en remplaçant un cdté par les prolongements des deui qui lui sont adjacents, on voit que, si la proposition est mie pour un polygone convexe, elle subsiste pour le polygone convexe quia un côte de plus; donc elle est générale.

1^4 GftOMfiTBIB DinS l' ESPACE.

pôledeA'B'. De plus, puisque C est le pôle de AB qui se trouve par rapport à AB du même côté que C, le plus petit arc du grand cercle allant de C en C est moindre qu'un quadrant : par suite, C est le pôle de A'B' qui se irouve par rapport â A'B' do même côté que C.

SCOLIS.

809. D'après cela, le triangle polaire A'B'C d'un triangle donné ABC peut être considéré comme obtenu ea décrinoi des sommets A, B, C, pris successivement pour pôles, trois circonrérences de grand cercle. Ces trois circonréreoces divisent la surface de la sphère (fig. ^3j) en buU triangles, dont l'un A'B'C est le triangle polaire de ABC. C'est celui qui est tel, que les sommets A et A' soient d'un même côté par rapport à BC, ies sommets B et B' d'un même côté par rapport ■ AC, et les sommets C et C d'un même côté par rapport à AB.

Les deux trièdres OABC, OA'B'C, qui répondent à deui triangles polaires ABC, A'B'C, sont supplémentaires (573'. En effet, d'après la construction du point C, on voit que l'iréte OC, par exemple, est perpendiculaire {T79)au plan A08 et située par rapport à ce plan du même côté que OC : on raisonnerait de même pour les autres arêtes OB' et OA'. Chaque angle de l'un des triangles ABC, A'B'C, doit donc (573] être le supplément du côté opposé de l'autre triangle. Uais celte propriété, en vertu de laquelle deux triangles polaires sooi aussi appelés triangles supplémentairet, mérite d'être dé montrée directement; c'est là l'objet du théorème qui suit.

THËORÈUE.

810. .Si ABC, A'B'C tant deux triangle» polairet, chaqat angle de l'un de ces irianglfit a pour mesure une demi-eireonférence de grand cercle, moins le côté opposé dans t'aittrt triangle {fig. 438).

En effet, considérons, par exemple, l'angle A et prolongeons, s'il le faut, les côtés AB et AC jusqu'à ta rencontre de l'arc B'C; puisque A est le pôle de B'C, l'angle A a pourœe sure l'arc DE (795); mais on a évidemment DE=^B'E + DC — B'C.

LIVBI VII. — US CORPS ROtIDS. I75

D'ailleurs B'E et DC sont des quadreots, puisque B' est le pâle de AC ei C le pôle de AB; on a donc

DE=icirc.de grand cercle— B'C.

On procéderait de la même manière pour les angles U et C.

Fig. *î8. Fie. 439- l'C- ^4".

Les triangles ABC et A' B'C résultant l'un de l'autre par hi même conslruction (808), la propriété que nous venons de démontrer pour les angles A, B, C du premier triangle convient aux angles A', B', C du second. On prouverait d'ailleurs directement que l'angle A', par exemple, a pour mesure le supplément de BC, en prolongeant BC jusqu'à la rencontre de A'B' et de A'C

SCOLIB.

811. Les propriétés des triangles polaires s'étendeni aux polygones et Bui courbes spbériques.

Soil \Jig. 43g] un polygone spbérique convexe ABCDB; pranons, des deux pAlesde l'arc de grand cercle BA, celui A' qui, par rapport à SA, wtdans le même hémisphère qne le polygone ABCDB; prenons d'une manitre analogue les p6Ies B', C', D*, B' des cAt/s AB, BC, CD, DE. Le polygone A'B'C'D'E' sera le polygone polaire du proposé, et l'on démontrera, comme aux n" 808 et 810 : i' que, it un pofygune sphërique A'B'C'D'E' eif le polygone polaire d'un pofygone donné ABCDB, r^ipnquemeni kKDE est le pofygone polaire de X'B'C'D'W ■,3" que, dam deux pnlygonei polaires, tout angle de l'un est le supplément du côté de l'autre dont le sommet de l'angle considéré est le pâle.

813. On appelle arc de grand cercle tangent en un point H d'une courbe iphériqae AMN {fg. 1.\q) la limite des positions que prend le

176 GGOXeTKIE DIHS LBSPACK.

grand cercle mené par le point M et un point voisin N, lorsque ce secocd point N de la courbe lend vers le premier. Une courbe spbérique est ra.iivxe si le grand cercle langent en l'un quelconque de ses points lai^^ la courbe tout entière dans un seul hémisphâre (799). Une court» ibérique convexe ne saurait ôtre rencontrée par un grand cercle en plu^ di: deux points; et, des deux arcs de grand cercle qui joignent deux points quelconques de la courbe, le plus petit, c'est-i^dire celui qui est oioindrt qu'une demi-circonférence, est à Viniérieur de la courbe.

Cela posé, soit A'M' (fg. ^40] une courbe sphérique convexe; en ud point quelconque M' de cette courbe, menons le grand cercle tangent et prenons le pâle H da ce cercle qui est duns le mémo bémisphëre qne li courbe A'M'; le lieu des poinls M est la courhe polaire AM de A'M'. Inversement, la courbe A'M' est la courbe plaire de AM; en d'aulr« termes, le point M' est le pâle de l'arc de grand cercle bogent en M à la courbe AH; car si N est le pâle de l'arc de grand cercle N'T' trogeol i la courbe A'M' en un point N' voisin de M', le point T' sera le pôle iT^ de l'arc sdcant UN, et, quand ce dernier arc deviendra tangent en H. lepointTseconfondraavecM'. Ainsi les pointsUelM' des deux courtes se correspondent deux à deux, de telle sort« que le point U soit le polt de l'arc de grand cercle tangent en U' et que le point M' soit le pôled^ l'arc do grand cercle tangent en M.

Deux fîgures spbériques polaires sont des âguree corrélatives : k toai point de l'une répond un arc de grand cercle dans l'autre, de telle sont que, si trois points de la première sont sur un même grand cercle, le» trois arcs de grand cercle correspondants de la seconde passent paras même point, pôle da ce grand cercle. Tout ibéorème en engendre immédJatement un autre; et c'est même cette corrélation des figures sphériques qui a suggérél'idèe du principe général de diwliié.

Corollaires.

813. Dam tout triangle sphén'qae .■ 1' ta somme det angtet est comprise entre deux et six angles droitt; 3? le plut petit angle augmenté de deux droits surpasse la somme dea deux autres angles,

La démonstraiion est la même que pour tes angles trfèdres [575], et les propriétés énoncées peuvent être elles-mêmes considérées comme une consé(]uence des propriclés correspondantes des irièdres.

Il résulte de là qu'un triangle sphérique peut avoir un, leux ou trois angles droits. Quand le triangle est bireclangif, le sommet de l'angle qui n'est pas droit est le p6le du câic