LIVRE Yll. — LES CORPS RONDS. IQI

x> ACD, Tare perpendiculaire CD sera aigu ou obtus suivant que Tanglo T» donné Â sera lui-même aigu ou obtus (821, 2®). Si Tare CD est aigu, n il sera le plus court de tous les arcs qu'on pourrait mener du point C » dans le fuseau aux divers points de Tare ABA'» et les arcs obliques aug- 9 menleront en s*éloignant du pied de l'arc perpendiculaire; si l'arc CD » est obtus, il sera au contraire le plus grand des arcs menés du point C, i> et les arcs obliques augmenteront en se rapprochant du pied de la por- )> pendiculaire (819, 820).

1) Cela posé, pour que le triangle proposé soit possible, il faudra d'nùonl » que le côté opposé a soit au moins égal à Parc perpendiculaire, si o l'angle donné A est aigu; ou plus petit, si l'angle donné A est obtus. » Cette première condition de possibilité est évidemment satisfaite lorsque D Tangle donné A et le côté opposé a aussi donné sont de nature différente.

» Je dis mainlenantque :

it A et a étant de nature différente, le problème, s'il est possible, n'a » qu'une solution;

9 A et a étant de même nature, le problème, s* il est possible, a une ou » deux solutions.

x> En eiïet, soient A aigu et a obtus, par exemple. Si Ton peut tracer » dans le fuseau, par le point C, une oblique CB égale au celé a, elle ne v pourra se trouver évidemment que du côté de celle des obliques exn trémes ^ ou 1 80*" — 6 qui sera de môme nature que a; ainsi le problème

> ne peut avoir qu'une solution. Cette solution existera pour a < celui » des arcs ^ ou 180^— b de môme nature; le triangle sera impossible » pour a au moins égal à celui des arcs 6 ou 180** — ^ de môme nature.

f Si Ton supposait A obtus et a aigu, on arriverait aux mêmes conclu- » sions; seulement il faudrait renverser les signes, parce que Tarcper-

> pendiculaire CD serait obtus.

» Soient A et a aigus. L'arc perpendiculaire CD étant alors aussi aigu, n on voit qu'il pourra exister dans le fuseau une oblique CB' égale à a du

> côté de celui des arcs bouiSo^ — b qui sera aigu, et, a fortiori, qu'il en » existera alors une autre CB du côté de celui des deux arcs bou 180**— 6 » qui sera obtus. Ainsi le problème pourra avoir deux solutions. Ces r> deux solutions existeront pour a< celui des arcs b ou 180** — b de n même nature; une de ces deux solutions ne sera plus possible pour a au • moins égal à celui des arcs b ou 180*— 6 de même nature. Le triangle n sera impossible pour a < l'arc perpendiculaire CD.

D Si Ton supposait A et a obtus, on arriverait aux mômes conclusions; » seulement il faudrait renverser les signes, parce que l'arc perpendicu- » laire CD serait obtus (*). 1

(*) Lehtiiéric, JVo«fv//e» Jnnaleif t. Il, 1"* lérie.

GÉOMÉTRIE DANB l'esF4CE.

83i. Par un /Kiiiil ihiiné, nu-fier un are de grand cercle langent à petit cercle donné \Jîg. 4S6).

Fie. iSiî.

Si le point donné est sur lo cercle, il suffit d'élever par ce poini un »k de grand cercle perpendiculaire au rayon sphérjque correspondanl [flS .

Supposuns, en second lieu , que le point donné A soit exMheur au [hik cercle donné, c'est-à-dire soit situé dans la ptu.i grande des deux caloi;<'? spliériques séparées par ce petit cercle. Considérons le problème comme résolu; nommons P le pdie du petit cercle donné, fi le point de couUd de l'arc BA, et prolongeons le rayon sphèrique PB d'une quantité BC= PB. Le pointe se trouve d'abord sur un cercle décrit du point P comnMpdIt avec une ouverture de cam[«9 égale i la corde d'un arc de grand cercle double du rayon sphérique r du petit cercle. 11 se trouve en outre sur on second cercle décrit du point A comme pûle avec une ouverture decomp».égule à la corde de l'arc PA = D; car, BA étant perpendiculaire sur If milieu de PBC, le point A e^t équJdiâtanL de P et de C.

Le point C une fois obtenu à l'aide de ces deux cercles auxiliaires, l'n mènera l'arc de grand cercle PC qui coupera le petit cercle en B, et, fn joignant B et A par un arc de grand cercle, on aura l'arc tangeni demandé.

Pourque le problème soit possible, il faut et il suffit que le IriangleAn'. dont on a les trois côtés, existe, c'est-à-dire qu'on ail (S3I )

tl<DH ar, 9r<DH-D. D-i-D + ar<4.

1.8 première condition est toujours remplie, et les deux autres équivalent à

elles expriment que te point A doit être situé hors de la calotte «p)i^ rique PB, et hors de la calotte symétrique.

UTBB Vit. — LES COSPS RONDS. ig3

Les cercles auiiliaires ne coupent en deux points C et C; de là deux solutions AB el AB'.

La conslruclion précédi^nte s'applique au prublème correspondanl de Géométrie plane; mais elle exige plus de place que celle du n° iSl.

Observons enlïn que, lorsque deux cercles de la sptière ont deux points communs, les Bymétriques de ces poinis par rapport au centre de la sphère appartiennent évidemment a la fois aux deux cercles symétriques des premiers, Si les deux points considérés se confondent, c'est-à-dire si les deux cercles proposés se touchent, les deux cercles symétriques se touchent au point symétrique du premier point de contact. EnQu.sil'un des cercles est un grand cercle, comme il est à lui-même son symétrique, on voit queloal gmnd rcrcle tangent à un /Mylit cercle est aussi langeai au petit cercle sj-iiiélri'iac du premier par rapport au centre (/c /o.'yi/iere. Ainsi, dans le prublème qui nous 'occupe, les grands cercles trouvés AB et AB' touchent non-seulement le cercle donné PB, mais encore son symétrique.

PROBLÈME

833. Décrire un grand cercle tangent à ileur petits cercles donnés. Soient P et P' les p6les (781 ) des deux petits cercles, R et R' leursrayons sphérïques, D la distance sphérique [810] des deux p61es P el P'. Nous supposerons, pour fixer les idées, R >R'.

La grand cercle cherché X peut laisser les deux cercles R et R' dans un même hémisphère ou dans des hémisphères opposés. Oans le premier cas [Jïg. jS?), nous prendronspour inconnue le pdleQ FiB. 157.

du grand cercle X, qui est dans le mâme hémisphère que les cercles R et R'. Si A et A' sont tes poinis où le cercle X touche respectivement les cercles R et R', le pâle Q est à la fois sur les grands cercles PA et PA' ; il est don* le troisième sommet d'un triangle sphérique QPP*, dont on connaît deux sommets P et P et les trois cdlés

PP-^D, PQ=OA-AP=i-R, PQ-QA'-A'P'= i-R', R. at RS C — Tr. d* Géom. (U* Partie). l3

■ 94 GfiOBfiTniE DANS l'espace.

Lea conditions de possibilité sont <83l)

D<i-R + i — R' ou a — n>R+Tl',

I — R'<D-t-i-R ou D>R — R',

i-R<D-i-.-R' ou D>R'-R,

D + i-R ^ i-R'< 4 ou D< 2 -t-R+R'.

Supprimant les deux dernières relations qui sont Batisfaitet d>l!e^ mêmes, puisque l'on a D < 3 et R' < R, il ne reste plus que les coiiJ>tions

D>R-R' et a-rD>R-t-R'.

Les principes du n" 8i3, applicables ici puisque D est moindre que i et que i — Ret i — R' sont moindres que i, les auraient fournies mmidiatement; ils permeltenl d'ailleurs d'interpréter géomeiriquemeni «> deuï conditions. La première exprime que la calotte R' n'est pas conlen».' dans la calotte R. Quant il la seconde, comme 3 — D esi la dislance i\!^^ rique de P au symétrique de P', elle signi6e que la calolie R et la (*lotte symétrique de la calotte R' sont extérieures l'une Si l'autre.

Dons te second ras {fi^. 458), on voit, d'une manière analogor, que

Fie. '.58.

le pèle Q du grand cercle X qui se trouve dans le même hémispii^f que le cercle R est le troisième sommet d'un triangle sphérique yP'*. dont on a les deux sommets P et P' et les longueurs D, i — R, i + il' des trois cûlés. Les conditions de possibilité sont

D>R-(-R' et a-D>R--R'.

Elles eipriraentque les calottes Ret R' sont extérieures l'une 11'»"^ et que la calolle R ne contient pas la calotte symétrique de la ciloIU R '