LIVRH VII. — LES CORPS BONDS. 3O
puisque les produits CD. AB eiBC. AE représenient tous deux le double de l'aire du triangle donné. Or, ir.CD.BC exprime (756) l'aire latérale du cône ,BCD ou l'aîre de la surface engendrée par le côté BC dans la rotation du triangle ABC. Par suite,
vol.ABC = aireBC-~-
3' Supposons (Jig. 470) que, le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur l'axe xy, le côté BC prolongé vienne rencontrer l'axe au point D.
Lelriangle ABC étant la différence des triangles ACD. ABD. le volume qu'il engendre est la différence des volumes engendrés par ces triangles. On a donc (i°)
vol. ABC = {aire DC — aireDB}-^ = aire BC.^.
S" Supposons enHn que le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur l'axe xy, le côté BC soil parallèle a cet axe.
Le volume engendré par le triangle ABC est la somme [Jîg- 471) ou la différence [Jig- 47^) <l^s volumes engendrés par les triangles ABE, ACE. Or, le volume engendré par le Fig. 471. Fie. kl*- .
triangle ABE est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangleAB'BE.ellevolumeengendré parle triangle ACE, les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle AC'C E [7G& ).
an8 QÉOMËTRiB Dins l'espaci.
Donc, dans l'un ei l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est les deux liers du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB, somme [Jig. 47') ou différence {Jîg- 4?^ ) des rectanglesAB'BE, AC'CE; et l'on a encore
2Tc.AE.BC exprime en effet l'aire latérale du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB ou l'aire de la surface décrite par le cdté BC du triangle ABC.
TIIÈORËUE.
856. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d'un diamètre extérieur à sa surface a pour mesure le produit de l'aire que décrit la ligne brisée qui lui sen de base, par le tien de Capothème de cette ligne brisée.
Fie- .1;3.
Soit (Jig. 473] le secteur polygonal régulier (ïU) OABCD. tournant autour du diamètre x^- Décomposons ce secteur en triangles, en joignant au centre 0 les sommets de sa base ABCD, et appelons a l'apothème de celte base. Le volume engendré par le secteur sera la somme des volumes engendrés par les triangles qui le conslitueni. Or (85Sj
yol. BOC T^aireBC 5.
vol. COD= aire CD-,.
LIVKB VII. — LBS CORPS BONDS. IO9
£n ajoutani ces égalités membre à membre, il vient
Tol.OABCD = (aire AB + aireBC + aireCD}-^ ou
vol. OABCD = aire ABCD. ^ ■
SCOLIB.
SÎÎT. Soient (>%. 473)AOD un secteur circulaire etOABCD.OA'B'C'D', deux secteurs polygonaux réguliers semblables, l'un ioscrii, l'autre circooscrit eu sncleur circulaire. Si l'on désigne par a et a' les apothèmes des deux secteurs polygonaux, le rapport des volumes eogeadrés par la rotation de ces secteurs autour de l'aie sy est
Mais, toT«(]u'on Tait tendre vers zêta les côt^s lie la ligne brisée régulière ADCD, suivant une loi d'ailleurs quelconque, les deux Tacteurs du produit qu'on vient d'écrire tendent l'un et l'autre vers l'unilé (291, 837). Donc le rapport des volumes engendrés par les deux secteurs polygonaux a l'unité pour limite et, par suite, il en est de mâme, aforiinri, du rapport du volume du secteur spbérique engendré par le secteur circulairo AOD au volume décrit par chacun des secteurs polygonaux qui le comprennent. Donc enfin :
Le volume d'un lecteur tpltériqite est la limite commune ilei volumes engemlréi pur dei secteurs pol/gonaujc rëgidicrs semblables, inscrit et circonscrit au secteur circulaire correspomlant, lorsqu'on fait eroitre in' iléjîniment le nombre des cités de leurs bases.
TllÉOBÈUE.
S5S. Le volume d'un secteur sphérique a pour mesure lu produit de l'aire de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.
Le volume d'un secteur sphcrique est la limite des volumes engendrés par les secteurs polygonaux réguliers inscrits dans le secteur circulaire correspondant, quand on fait croître indénniment le nombre des cdtés de leurs bases. D'après cela, soient v le volume engendré par un secteur polj'gonal régulier inscrit, i l'aire de la surface décrite par sa base, a son apothème; soient de même V le volume du secteur spbérique, S l'airu
. a. cl DiC. — Tr.dt GA>m.(lf PirlieJ. l4
3IO gBohëtrii dahs l'espace.
de la zone qut lui sert de base, R le rayon de la sphère.
On 8 (856)
Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des calés de la base du secteur polygonal, v tend vers V, s vers S et a vers H. Un a donc, à la limite.
CoROLLlJRBS.
859. Dans des sphères égales, deux secteurs sphériques sont entre eux comme les zones qui leur servent de bases, et. par suite, deux secteurs sphériques dont les bases ont même hauteur sont équivalents.
THËOBËMB.
860- Le volume de la sphère a pour mesure le produit de son aire par le tiers du rayon.
Car ce volume peut être considéré comme celui d'un secteur spbérique ayant pour secteur circulaire correspondant uci demi-cercle ou pour base l'aire de la surface sphérique ellemême. D'ailleurs, le raisonnement fait pour le secieur spbérique s'applique textuellement à ce cas particulier.
COBOLLIIEES.
861. V étant le volume d'une sphère de rayon U ou de dianiëireD, on a
802. Les volumes de deux sphères sont entre eux comms les cubes des rayons ou des diamètres.
8G3. Voici deux applications numériques :
1' Trouver le volume du globe terrestre.
L'aire du globe est (8t3}, à moins d'un myriamèlre carré.
i^.Sao,
LITH TH. — LKB CORPS BONDS. au
SopagSSmyriamèlrescarrés.Son rayon estd'ailleurs
ou 6366 kilomètres, à i kilomètre près. Le volume du globe icrreslre, égal au produit de son aire par le tiers du rayon, sera donc loSiooouoo myriamètres cubes, à un million de myriamèlres cubes près.
Si l'on prend le rayon du globe terrestre pour unité, le rayoB du Soleil est représenté par io8,5. L'aire ei le volume du Soleil sont donc environ ii8«o fois et 1280000 fois l'aire et le volume de la Terre [8^2, 862).
2" Trouver le rayon de la sphère dont le volume esl un mètre cube,
La formule
|i:R*=i donn à moins d'un mlllimèire.
SCOLIB.
8BI. les volumes de deux polyèdres virconscrils à h même sphère ou à de* sphères égales sent enlie eux comme les aires lie ces mêmes polyèdres.
Si l'on décompOb.^, en ffTet, les polyèdres donnés en pyramides, en prenant pour centre de décomposition le centre de la splière inscrite, la mesure du volume de chacun d'eux s'obtient en multipliant l'aire de sa surface par le tiers du rajon de la sphère (6&6].
TDËORËMB.
865. Le volume engendré par un segment circulaire tournant autour d'un diamètre extérieur à sa surface équivaut au sixième du cylindre qui a pour rayon lu corde du segment et pour hauteur la projection de cette corde sur l'axe.
Le scgmcni \mU{fig. 474) est la différence du secteur clr culaire AOBet du iriungle isocèle AOB; la portion du volume de la sphère engendrée par ta rotation de ce segment sera donc
213 aBOMËTHlB DINS L'ESPACB.
égale à la différence des volumes du secteur spbérique AOB et du triangle tournant AOB.
Fie. 47l-
DF étant la projection de AB sur xj et 01 la hauteur du triangle AOB, on aura [858, 838, 855, 835)
sect.sph.AOBr= zone AB. -^ = |irT)Â'.DF,
vol. AOB = aire AB y = | itôî'. DF.
Par suite,
vo1.A;nB = |n(Âô'-Ôi')DF.
Le triangle rectangle OIA donnant
ÔÂ'-Ôl' = Âl' = ^, ■t il vient, en réduisaiil,
voI.A/hB^^ttAB'.DF,
ce qui vériCle l'énoncé.
THÉORÈME
t.66. Le volume d'un segment spliériqiie équivaut au volume d'une sphère ayant pour diamètre la hauteur du snj^meni, augmenté de la demi-somme des volumes de deux cylindirs a)ant pour hauteur commune celle du segment, et poui bases respectives les buses du segment.
Le trapèze mixtiligne DAoïBF {fg, 475} engendre un segment sphérique en lournunt autour du diamètre xy (854). Ce segment est donc la somme des volumes engendrés par le segment circulaire AmB et le trapèze rectangulaire DADF. On a d'abord (805)
vol.AmB^P^îÂB'.OF.
IITBB TH. — LES C0BP8 RONDS. 2Ii
Le irapèze DABF engendrant un Ironc de cône de révolution, on a aussi (766}
vol. DABF = i jT DF(bF' + Âd' -(- BF. AD).
Par suite,
vol. DAmBF = gnDF(ÂB'+2BFV3AÏ*'-f-^BF.AD).
D'ailleurs, la corde AB est liée à la hauteur DF et aux rayons
BF et AD des bases du segment spliérique par la relation
ÂÛ'= AÊ'-h"BË' =DF +(BF- AD)' ou
Âb'=ïïfV bF'-hÂTi' — îBF.ad.
En substiiuanl cette valeur do AB et en slmplinani. Il vient
vol.DAmBF=g7:DF(i)F'+3BF' + 3Âi)'}»
ce qu'on peut écrire
vol.DAmBF=gitUFV^{jiBF'.DF + ;rÂr)'.DF)
de manière à vériRer l'énoncé (861, 746).
Si le segment considéré n'a qu'une base, c'est-à-dire si [Jig. 476] le point D vient occuper l'une des extrémités du diamètre xjr, on a simplement
vol.DmBF=iTrDF' + -jtBF'.DF.
3l4 GfiOMtTBIB D&K8 l'bSPAGI.
SCOLII.
867, Quand le segment sphérique n'a qu'une base [fig-^'f' • on peut eiprimer soo volume V en Tonclion de sa hauteur
Fig. 47*-
DF = A et du rayon R de la sphère. On a d'abord, d'après la formule précédente,
V=^nA' + -jrBF'.A.
fa 2
D'ailleurs (223),
Bf'=A(2R-/0.
d'où
V=^itA' + ^7rA'[2R-A) OU, en simplifiant,
(i) V:r.nA'(R-lAV
On peut trouver directement cette formule, en regardani le segment à une base comme la somme ou la différence du secteur sphérique terminé à la même calotte sphérique et du c6ne de révolution qui, ayant la même base que le segmeni, a son sommet au centre de la sphère. Le segment sphérique est la somme ou la difTérence des deux volumes indiqués, suivant qu'il est plus grand ou plus petit que la demi-sphère.
Dans le second cas (^g^^^&], on a
V = ^7rR'A — j7tBF'(R — A)î dans le premier (même Rgure),
V=^|7rR'A4-iirBFV'-")-
LITRB TM. — LES C0HP9 RONDS. ai5
Ces deux Tormules sont identiques, puisque DF a toujours \i même expression ; et, en les simplifiant, on reirouve la formule ( 1 }.
THÉORÈME
8G8. Le volume d'une pyramide sphérique a pour mesure le produit de sa base par le tiers du rayon de la sphère^
Une pyramide sphérique est la portion du volume de la sphère comprise entre les faces d'un angle polyèdre dont le sommet est au centre de la spiière; le polygone sphériquo correspondant à cet angle polyèdre est la base de la pyramide- Deux pyramides sphériques sont diies^méli iques lorsqu'elles ont pour basL's des polygones sphériques symétriques.
On appelle onglet la portion du volume de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles CAC, CBC [Jig. 464) = '" fuseau C'ACBC est \9base de l'onglet, et son angle est i'angle de l'onglet.
On démontre que :
i' Deux pyramides sphériques triangulaires symétriquei sont équivalentes (84V};
2" Si Von prend pour unité d'angle l'angle droit, et pour unité de volume la pyramide trirectangle qui est le huitième du volume de la sphère, un onglet a pour mesure le double du nombre qui mesure son angle [846];
3° Dans le même système d'unités, le volume d'une pyramide sphérique triangulaire a pour mesure le nombre A + B-i-C — a, A, B, C étant les mesures des angles du triangle sphérique qui sert de base à la pyramide (847).
Il résulte de là que le rapport du volume d'une pyramide sphérique triangulaire h l'aire de sa base est égal au rapport de la pyramide sphérique trirectangle au triangle trirectangle ; mais ce dernier rapport est égal à celui du volume de la sphère à son aire, c'est-à-dire au tiers du rayon. Donc le volume de la pyramide sphérique triangulaire est égal au produit de sa base par le tiers du rayon; et ce théorème s'étend à la pyramide sphérique polygonale, en décomposant sa base en triangles.
CtOMËTRIB DAKS l'eSPàCB.
i Vil. — GÉNÉRALITÉS SUR LKS SURFACES.
869. Une surracc est le lieu des positions successives d'une ligne qui change de position et marne de forme, suivant une loi déterminée et continue. Le plus souvent on règle, au moins en partie, le mouvement de celle ligne, qu'on nomme génératrice, en l'astreignant à rencontrer sans cesse certaines lignes fixes qu'on oppelle directrices.
Voici des exemples :
I' Une surface conique est le lieu des positions successives d'une droite A, SA [fis- 477 ) 1"' passe toujours par un point lixe S et qui s'appuie sur une ligne fixe AMB plane ou gauche. Ici la génératrice est constante de Torme, c'est une droite, et l'une des directrices se réduit à un point S qu'on nomme sommet. Une surface conique a deux nappes SA,B„SAB, séparées par le sommet.
a° Une surface cyliniirique est le lieu des positions successives d'une drotle AA' qui s'appuie sur une ligne fixe ABC cl reste parallèle a une direction donnée [Jig. 478). Une surface cjrljndrique peut être considérée comme la limite d'une sur-
LITiB VII. ■
race conique dont le somn la direciion donnée; ou, conique dont le sommet ^ reciion.
3° Une turface de rêvofi rcssives d'une ligne MNP fixe XYà laquelle elle esti ce mouvement, tout poin une circonférence dont le et dont le centre 0 est si sections Taiies par des pi des cercles: ces cercles 1 parallèlet de la surface. On dans la surface par des plai diens quelconques M,N, P, sables: car, si l'an fait tou de manière à amener le | M,, N,,... arriveront resp que les angles M,OM„N,U angles plans d'un même di
Toute courbe tracée su jtre prise pour génératrici on choisit pour génératrice déjà étudié trois surfaces de révolution dont le méri l'axe, la surface cj'llndriqi
3l8 fltOKtrniE DANS LISPACI.
ebl une droite parallèle à l'axe, et la sphère dont le méridien est une circonférence ayant son contre sur l'axe.
Les surfaces de révolution admettent un second mode de génération Tort remarquable : on peut les considérer comme le lieu des positions d'un cercle dont le centre parcourt l'aïf (lie XY, dont le plan reste perpendiculaire à cet axe, ei dont le ra^on varie suivant une loi telle, que le cercle rencontre sans cesse un méridien ou toute autre courbe iracée sur la surface. C'est ce cercle, variable de grandeur et de position, qui est alors la génératrice, el le méridien ou la courbe Qxe considérée sur la surface qui est la directrice.
THEOREME.
870. i" Les sections d'une turface cylindrique, par deux plans paralMes, sont égales.
2° Les sections d'une surface conique, par deux plans p'trallètes, sont semblables.
En effet :
lisaient la surface cylindrique AA' et deux sections ABC, A'B'C, faites par deux plans parallèles [/g'. 478)> Prenons quatre points A, B, C, M, sur la première section, et menons les génératrices AA', BB', CC, MM', qui rencontrent la spconde section en A', B', C. M'. Les quadrilatères ABC^t. A'B'C'M' sont superposables comme bases opposées d'un prisme quadrangulaire. D'après cela, si l'on transporte leplin de la seconde section sur celui de la première, dès que les trois points A', B', C seront appliqués sur leurs correspondants A, B, C, tout point M' de la seconde section colncidcn avec son correspondant M de la première.
La section A' B'C peut être considérée comme la projection obliqu'. (S86) de ABC; on peut donc encore énoncer ce théorèmedela manière suivante : Une courbe plane quelconque est égale à sa projection oblique [ou orthogonale] sur un plan parallèle au sien.
3° Soient la surface conique SAMB el deux sections AMB. A'M'B', faites par deux plans parallèles [Jtg. 477)- Heooos par le sommet une droite quelconque SOO' qui rencontre les
deux plans en 0 et O*, ei proj première section AMB sur le p lion amb étani égale à AMB (1° si nous prouvons que amb en SMM' étant une génératrice droites OM et (yW sont parai!
