LIVRE TU- — IBS COBPS BOHM. aa

878. Deux sériions, Punr K^, parallèle, l'autre CS iinti-paniUèle à la b/ne d'un cône oblique à basa circuliiire, sont toujimrs situées sur une mi'nie sphère; car lea deux seclinnB circula ires A, B, et CD (A?. 4Ba) doivent ( 873 ) être perpendiculaires à un même plan SAB passant par leurs centres, et le quadrilatère A,B,DC situé dans ce plan doit être inscriptilite ; les cercles A, B, et CD sont donc sur la sphère dont le grand cercle passe par les quatre points A,, B,, C, D.

Inversement, ptir deux cercles A, B, et CD placés sur la surface d'une fplière, on peut toujours faire passer deux cônes. — En effet, soient {Jîg. jSa) A,B,DC une section passant par le centre de la sphère et par lus centres des deux cercles, el A, B,, CD les diamètres de ces cercles, dtïlerminés par la section A,B,CDi les plans de ces cercles seront perpendiculaires au plan sécant A,B,CD. Or, si l'on mène les droites A,C et B, D, leur point de concours 5 sera le sommet d'un cône ayant potir buse le cercle A,B, et passant par les poinis C et D. Mais l'angle DCS est égiil à l'augle A,B,S : donc la section CD Taile dans le cône par un plan perpendiculaire à A, B, DC sera un cercle ayant CD pour diamètre ; donc ce cercle se confond avec le cercle CD de la sphère. 1! y a un second cône qui coupe la sphère suivant les mêmes cercles A,B, el CD ; son sommet est à l'intersection S' des deux diagonales B,C et A,D. Ces deux cônes peuvpnt, dans certains cas, dégénérer en cylindres.

879. Il résulta encore des considérations précédentes que, lorsqu'un côiic i jiénètre dans une sphère suivant un cercle A,K„ il en sort suivant un second cercle CD.

8S0. Dans un cône oblitiue à base circulaire, les centres des sections parallèles è la base sont distribués sur une mime droite passant par le sommet; les centres des sections anti-parallèles & la base sont aussi placés Bur une seconde droite passant par le sommet. Il importe de connaître la fiiluation respective de ces deux droites.

Suit SAB la section principale du cône dont la base est le cercle di'crit sur ABcomme diamètre. Le cercle circonscrit au triangle ASB {fig. 483) est un grand cercle de la sphère qui contient le cercle AB et le sommet S du cône. U tangente SG au cercle SAB est la trace sur SAB du plan laMgi>nt i la sphère en S, el ce plan tangent est perpendiculaire au plan SAB de la R};ure; d'ailleurs, la droite 5G est anti-parallèle è AB, à cause de régalité des angles BAS, BS6. Donc le plan tangent SG est parallèle aux plans des sections anti -parallèles à la base AB, el la question se réduit à trouver le centre d'une section quelconque parallèle à ce plan tangt'Hi. Nous choisirons celle qui passe par le point de concours T des tangénies en A et en B au cercle ASB, c'est-è-dire parle sommet Tdu cène qui Ml circoQscrit à b epbète suivant le cercle AB. En menant par le point T

Ï.l4 GËOHBTRIB tlAHS L'BSriCB.

la parallèle CTD â SG, oa aura le diamètre de celte section. Or il est aûé de voir que le point T en est précisément le ceDlre, c'est-è-dire que k

poiDt T est le milieu de CD. En eDet, l'angle TDD, égal à SBK, a poi.r mesure la moitié de l'arc 51B ; l'angle TDB, aUerne-inl«rne de BSG, a t même mesure; donc le triangle TBD esL isocèle et l'on a TD =TB.On vot pareillement que TC=TA; par suite, comme TA = TB(|>i8), on i TC -= TD, Ainsi, le lieu dei cenlrci des sections anti- parallèles à ta bain AB est la droite ST, qai joint le sommet S aa sommet T (fan cône atuiliaire circonscrit, suivant le cercle AB,' h la sphère déterminée par ce cercle et par le sommet S du cône primilij.

THËOBÈUB.

881. X« lieu des tangentes, menées par un point d'une surface aux diverscs courbes que r on peut tracer par ce point sur la surface, est un plan.

Soient M le point donné, AMA' une section plane passant par ce point, «-t BB'.CC',. . . des sections voisines faites par des plans parallèles au premier {fis- j8 J ). Si l'on prend sur ces courbes les points P, Q, . , . , où U tungenle est parallèle à MT, on obtiendra une courbe continue UPO, ..., située sur la surface. Soit MU la tangente à cette courbe au point M;loiil se réduit â prouver que le plan TUU renferme la tangente MV à uno courbe quelconque MG tracée par M sur ta surface.

Or, soit M' le point où la courbe MG rencontre la seclion BPB'; menons les cordes MP, SIM', et projetons, parallèlement S MP, sur le plau de la première section ÂUA', la section BPS" ; la courbe UU, B, Bin<i obtenue sera tangente en M à MT. En effet, ta tangente à la im>jcction MM, B, doit être la projection de la langenle PS à la courbe de lespace BPS* (874), et la projeclioa de PS, parai lèlemeot à MP, est [nécisé-

' LES COBPS BOHDS.

ment HT, puisque, par hypolhâse, PS el BIT foot parallËlee. Cela étant, si M, est la projection de H', le plan H, HP des deux cordes HU, et IIP

renferme sana cesse la corde HM'; par suite, la tangente MV sera contenue dans le plan limite de H,MP; or ce plan n'est autre que TUTI, puisque les cordes HM, et IIP ont respectivement pour limites les tangentes UT et HU.

Ce plan, lieu des tangentes aux diverses courbes que l'on peut mener par le point II sur la surrace, prend le nom de plan tangent de ta surfari: au pointu.

882. La normale à une surface au point U est la perpendiculaire an plan tangent en ce point.

883. Le plan tangent en un point d'une surface est déterminé par les tangentes à deux courbes quelconques menées par ce point sur la surface.

8S4. Dans toute surface réglée, c'est-&-dire engendrée par une ligne droite, le plan tangent en un point contient la génératrice qui passe par ce point; il est alors déterminé par cette génératrice et par la tangente à une courbe quelconque menée par ce point sur la surface. Ce plan toru-ne en général autour de la génératrice. Il est pourtant une classe do surfaces réglées, pour lesquelles le plan tangent est le même tout te long da la génératrice, comme cela arrive (873) pour les cdnes et les cylindres. Ces Burraces sont dites développables, tandis qu'on appelle ganchet les surfaces réglées qui ne jouissent pas de cette propriété. Les surfaces dévetoppables sont ainsi nommées, parce qu'on peut les étendre sur un plan Bans les déchirer ni les replier. Considérons, en etTet, une surface telle qne tes plans tangents soient les mêmes le long de cbaque génératrice, o'Mt-k>dire ne changent qu'en passant d'une génératrice à l'autre : reniemble des plans tangents, suivant les diverses génératrices, formera B. et Cl C. - Tr. d< Géem. (If Partia). l5

336 GïaiItTVIE DINS l'eSPAM.

ane surrace polyédrique circonscrite, qui a pour limite la surface considérée. Or cette surface polyédrique peutéire étendue sur un plan, en faisant tourner chaque face plane autour d'une arËle, de manière à Ei rabattre sur le plan de la face précédente ; et, comme celle propriélé i lieu, quelque rapprochées que soient les génératrices, il en est de même à la limite ponr la surface considérée.

885. Le plan tangent i une surfjce peut laisser la surface tout eniièrr d'un seul cété; il y a alors un point de contact unique ou une ligne de contact; le premier cas se présente, par pxemple, pour la sphère, !« second pour le cylindre et le cAne à base circulaire. Le plan langent peui aussi couper la surface, et la section est alors une courbe à nœud : c'rsi ce qui arrive, par exemple, en un point de la gorge d'une poulie.

886. EnGn nous devons observer que le théorème précédent (8^1 cesse parfois d'être vrai en certains points singuliers, tels que le somir:-.'! d'un cdne; en ce point, le lieu des tangentte forme, non pas un plan, mais la surface conique proposée. Il en est de même au point d'une surface de révolution situé sur l'axe, lorsque la méridienne rencontre cet axe sous un angle différent de go degrés. Ajoutons cependant que, ^ un point décrit sur la surface d'un cône une courbe bien déterminée et aboutissant au sommet, le plan tangent au cane en chacune des po£ilion< du mobile sur sa trajectoire est parfaitement déterminé, et il l'est encore au moment où le mobile atteint le sommet du cane; c'est le plan langent suivant la génératrice qui touche au sommet la courbe considérée.

THÈOBÈME.

887. Le plan langent en un poini M d'iuie surface <U révoliuioa est perpendiculaire nu plan méridien ZOM qui passe parle point de contact

[fg. 485).

Fig. 485.

n efTel, le plan tangent en U contient la tangente HT au parallèle

LITBB TH. — LBS CORPS ROKDS. 33^

OV, et cette tangente MT est perpendiculaire au plan méridien ZOU, comme étant à angle droit sur les deux droites OH et OZ de ce plan.

COBOLLAIBEA.

888. La normale HS à la surface au point M est contenue dans le plan méridien ZOU (882). Le point S, oà elle rencontre l'axe ZZ,, e^t d'ailleurs le niâme pour toutes les normales qui répondent aui divers points d'un même parallèle ; d'où l'on conclut que les normales menées à une surfaix de révolulion par Us dleers points d'un parallèle forment mt cône de rivoUaion qui a son sommet S sur l'aie de la surjace. Les tangentes aux différents méridiens en des points situés sur une même paralUle jorment aussi an cône de réeolution qui est eirconserit à In surface et qui a son sommets, sur l'axe de celle surface. L'angle S,MS, qui mesure l'angle des plans tangenla aux deux cônes au point M, est druilj les deux cônes sont tlone orthogonaux.

THÉORÈME

889. Quatre plans tangents à une surface gauche, menés par une même génératrice, ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs quatre points de contact.

En effet, soient G une génératrice d'une surface gauche (884), et A, B, C, D les plana qui touchent celte surface respectivement aux pomls a, b,

c, d de relte génératrice. Considérons quatre courbes Gies use, ^(3, c-/, dS, tracées à volonté sur la surface et passant respectivement parles points a, b, c, d; désignons par a', b', c', d lea points où ces courbes rencontrent une génératrice G' voisine de la génératrice G, et menons Icâ cordes aa', bb', ce', dil'. Le faisceau des quatre plans Gaa', GbI/', Gcd, Gdd', étant coupé par la transversale G' aux points a', ù', c\ tf, lo rapport enharmonique de ces quatre pointa est égal à celui des quatre plan.-.. Cette propriété ayant lieu, quelle que soit la position de G' sur la surface, subsiste quand G* vient se confondre avec G ; mais alors les points a', ù',

d, d' se confondent avec a, b, c, d, et les plans Gaa', G bi/, Gcc", GiA/ deviennent les plans tangents A, B, C, D, puisque les cordes aa', bl/, et', dtl ont pour limites les tangentes on a, h, c, d, aux courbes aa, bf, c'i, d9. Donc le rapport enharmonique dea quatre plana tangents A, B, C, D est égal k celui de leurs points de contact a, b, c, d.

CoBO LIA IRES.

8!». La relation (727)

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ZaS GtOHfiTBIB DANS L'ESPACB.

qui est la Iradaclion analytique du théorème précèdent, permet de délerminer le plan D qui touche la surface en un point donné quelconque d de la génératrice G, dès qu'on connaît les plans tangents A, B, C en troi^ points donnés a, b,e de cette génératrice.

891 . On dit que deux surfaces gauches S et S', qui ont une génératric' commune G, se raccordent suivant cette génératrice, lorsqu'elles se toif cbent en tout point de cette ligne.

Deui surfaces gauches S et S' se raccordent sntearU une g^nératrire commune G des qu'elles se touchent en trots points a, b, c de relie génératrice.

En effet, soient d un point quelconque de la génératrice G ; D et D* lf« plans qui touchent respectivement au point d les surfaces S et S'; enfio. A, B, C les plans tangents communs en a, b, c. Les rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre plans (A, B, C, D), (A,B, C, D') soni égaux entre eux, puisque, d'après le théorème précédent, chacun d'eui est égal à celui des quatre points a, b, r, d. Donc les plans D et D* coïncident, et les deux surfaces S et S' se touchent en an point quelconque d de la génératrice commune.

C'est surtout en étudiant la Géométrie descriptive qu'on comprendj^ l'importance de ce principe fondamental.