II. — Sur la mazifflii

900. Les propriétés qui font 1 ainsi que leurs démoosl rations bien qu'aux 6gures planes. Tou laJre doivent alors ëtro énoncés

Entre tmu les triangles tphe AU et AC, le triangle maiiinui deux côt^s est égal à la somme

Entre tous les triangles splu côtés est donnée, le triangle colis sont égaux et coniprennei deux autres.

Celte seconde proposition se ' ment semblable à celui du n"

un cercla u ayant A pour pél dooDée du côté AC. Par les po rapport au centre de la sphër lequel ce plan coupe la sphère n

a34 gRombtbie dars l'bspacb.

qui sont les sommets de deux trJaDgles CiAB, C|A.B équivatenU (8S3i. L'aire de ces triangles augmentis avec l'inclinaison du plan du cercle sur te plan EDAB, c'est-à-dire à mesure que les points Ct et Ci se rapprocbent l'un de l'autre sur le cercle u; celte aire est donc maximum quand c«> deux pointa se conrondent, et par suite le triangle maximum demanda est le triangle AfiC obtenu en choisissant le sommet C sur I» cercle » de telle sorte que ce cercle u et le cercle circonacrit au triangle DEC stuent tangents; mais alors le pôle du cercle DEC est sur EC (S23); àone ou a C = o, C = 7, E = J ; et par suite A = a — B=a — J, 0 = -,, B=a — D=3-(J^-■/), d'où, enân, A= B + C.

901. On peut dire encore que dans le triangle maximum ABC contlnm avec deux c6lA donnés AB et AC, h troisième côté CB est le diantèof $plierique du cercle circonscrit; car, en imaginant l'arc de grand cercfe qui partagerait l'angle A en deux parties, l'une égale à B, l'autre égtl« i C, on voit immédiatement, par les doux triangles isocèles dans le^udî cet arc décompose le triangle ABC, que le point où cet arc coupe BC r<t éqnidistant de A, B et C, et par suite est le pâle du cercle inscrit à AfiC

THÉORÈME

90S. Parmi toRs les corps de même aire, la sphère est celui qui aiepbts grand volume.

Soit K un corps ayant le volume maximum sous une aire donnée, et I la surface qui le limite.

1° La surface 1 est con-exe, sans quoi on pourrait augmenter le volume du corps sans augmenter l'aire.

3° Tout plan A qui divise l'aire de K en deux parties équivaUntet divise aussi te volume en deux />ar[ies a et p éi/uivaieittes (fig. igo); «r.

FJg. 490.

si l'on avait, par exemple, « > p, en remplaçant ? par la figure «1 symé-

LITKE VU. — LBS COHPS lONDS. 335

trique de a par rapport au plan A, on obtiendrait un corps («, «i) de même aire que K et de volume plus grand.

Nous donnerons, pour abréger le discours, aux plans tels que A, le nom de f^m médinns. Par toute tangente à la surface £, on peut menet un plan médian (raisonnement analogue à celai du n° 13, en faisant tourner un plan autour de la tangente depuis la position oii il est tangent jusqu'à ce qu'il le redevienne) ; de meroe, on peut mener un plan médian parallèle A un plan quelconque.

3* Tout plaa médian A eit normal à la surface £ en (ont point de la ligne minant liiqiiille il roii/'e cette surface; car, si en un point de celle ligne le plan tangent était oblique au ^lan A, en remplaçant l'une des parties a ou ^ par la symétrique de l'autre par rapport au plan A, on obtiendrait un corps ayant le volume maximum sous l'aire donnée, et qui, étant coupé par le plan tangent au point considéré, ne serait pas conveie.

4* Toal plan I) passant par l'intersection D de deux pt/ios médians F et Q est un plan médian. En effet, soit X un iv>int commun à la droite D et à la surface I et XT la tangente à la section que le plan R détermine dans la surface Z; par XT on peut mener un plan médian (i°), et ce plan doit être normal en X (3"}; mais la normale en X devant appartenir aussi aux plans médians P et Q (3°) n'est autre que D; donc le plan médian considéré est le plan DXT, c'est-à-dire le pbn [t.

5" Toutes les normales h la surface î passent par un mime point.

Qu'on imagine, en eflet, les trois plans médians respectivement paral-

lëk-s aux trois faces d'un triëdre quelconque; ces trois plans formeront

un nouveau triëdre. Or la normale en un point quelconque M de Z passe

par le sommet 0 de ce triëdre; car, les trois plans déterminés par le

point M et par chacune des arêtes du trièdre étant médians (4°), leur

droite commune OM est la normale en M {3°).

fi" Im surface 2 rst une sphère.

En pffet, soient A et fi deux points quelconques de 1 {fig. 49O1 <3 le

Fig. 431.

point de concours des normales â celte surface, AB la section faite dans Z

par le plan AOB. ACD . . . B. une ligne brisée inscriie dans l'arc XS. et AUN ... TB la ligne brisée circonscrite correspoodaDie (291 >. Li relation

d'où

OA -h MA = OM = OC -I- MC ÔÂ'-ÔC' = MC' — MA',

«t fon s de môme

'^-°''<ôcTm,i'"'*'<''>-

Faisons tendre vers léro les cAtés de la ligne brisée inscrite; toutes ]fi rractloos des seconds membres des inégalités précédentes lendrait vctî zéro; en désignant par ( la plus grande d'entre elles et ajoutant les îd^ galités membre à membre, on a

OA-OB<f.P,

P étant le périmètre de la ligne brisée circonscrite; comme P tend vnla longueur de l'arc AB, et que i tend vers zéro, on voit que la différent.' OA — OB peut devenir moindre que loute quantité donnée. Or celte différence est /Lee; donc elle est nulle, et l'on a OA = OB. Deux puioLquelconques de la surface £ sont donc équidisiants du point 0, ce >|>i. prouve que cette surface est sphérique.

ni. — Polyèdre! réguliers.

DBS POLTbDBBS RiGULlEHS CONVUU.

90t. Un polyèdre régulier est un polyèdre dont toutes les faces s*>:'i des polygones réguliers égaux et dont tous les angles polyèdres ioa'. égaux entre eux.

903. n ne peut exister que cinq polyèdres réguliez Cette proposition n'est qu'un cas particulier de celle du n* 6âS. Oi peut d'ailleurs la démontrer directement en quelques mots.

llïilE TU. — LïS CORPS ROKDS. 2^7

La somme des faces d'un angle polyèdre convexe devant être intérieure à qualre angles droiU {S70), si les faces sont deg triangles équilatéraux, on ne peut assembler autour d'un même point, pour former un angle polyèdre, que troii ou quatre ou cint/ de ces triangles. On construit ainsi ~ le léiraèdn régulier compris sousquatre triangles équilaléraux ; X'octaèdi régulier, compris sous huit triangles équilaléraui ; l'icosaèdre réguliei compris sous vingt triangles équilatéraux. Au delà, ji'x triangles équilatéraus assemblés autour d'un même point donnent six angles plans dont la somme est ^1e è quatre angles droiU; il n'y a plus d'angle polyèdre les six triangles se trouvent développés dans un même plan.

On ne peut employer les carrés et les pentagones réguliers qu'en les assemblant par trois, puisque l'angle d'un carré est droit et que celui d'un pentagone régulier est égal à { d'angle droit. On a ainsi Yheraèdre régulier ou cube, compris sous six carrés égaux, et le dadécaètlre régulier, compris sous dooze pentagones réguliers.

Aucun autre polyèdre régulier convexe n'est possible, puisque, l'angle d'un hexagone régulier étant égal à { d'angle droit, trois angles d'hexagone régulier font en somme quatre angles dnntB.

Nous preuverons l'existence des cinq polyèdres réguliers énoncés, en moDtrant comment on peut effectuer leur coDstruclion.

PROBLËUB.

B08. Construire im polyèdre régulier, connaisiant son arête.

\a construction du tétraèdre régulier (fig. 49a)et celle du cube [fig. 49^)

ne peuvent offrir aucune difficulté, d'après ce qui a été dit aux n" Sât

et G4!t. Nous ne nous occuperons que de l'octaèdre, du dodécaèdre et du

l'icosaèdre.

Fis- 191. Fie- 495.

Octaèdre régidier.

Prenons (/;. 4gj) un carré ABCD de cAlé tf. ËlevonB on son centre 0

*^ gGomEthib banb l'ispace,

une perpendiculaire indéGnie, et portons départ et d'autre du poinlOin

cette perpendiculaire une longueur égale au rayon du carré ABCD, et;!

à-dire i ~ — Eu joignant lea points S et S' ainsi obtenus aux somnifi

FiB- 491-

A, 6, C, D, on forme un octsMre régulier SADCDS'. En effel, ks -iarêtes SA, SB, ..., S' D sont égales entre elles eti)

Vt*t = °-

Les huit faces du polyèdre construit sont donc des triangles èquilatén»^ égaux. De plus, les six angles polyèdres sont égaux entre eux ; car le" angles S et B, par exemple, sont les angles au sommet do deux pyramide quiidrangulaires régulières SABCD, BASCS', évidemment superposabifi comme ayant même base et mâme hauteur.

On peut résumerla construction deToclaèdre régulier en remarquanlili" trois droites égales et perpendiculaires entre elles eu leur milieu, wlW queAC, OD,SS',ont pour extrémités lea six sommets d'un pareil polyèdre.

Doilécaèilie régulier.

Soit IJ^g. 4g5 ) un pentagone régulier ABCDE de cAté a. Precons d>u- Ires pentagones réguliers de côté a. Avec deux de ces pentagones ioir<^ au pentagone ABCDE, formons en A un angle triëdre qui, ayant ses l^^'^ égales, aura aussi ses angles dièdrei> égaux. Les trois cdl^ BA, BC, i^" déterminent alors un angle triëdre B, égal à l'angle trièdre A, corau" ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égales entre tllti'' chacune à chacune. On peut donc former & tous les sommets du penu-

gone ÂBCDB des angles trîèi réguliera égaux à ce penlagc pentagone ADCDE est comm troisiËme et le quatrième tri tagone; le dernier angle trié

On obtient ainsi un asseml également inclinés. Cet asBei verte, moitié du dodécaèdr FGIUKLMNPR qui la termine penlagooes. D'ailleurs les an en efTel, les deus angles Ifié un dièdre égal compris enln chacune. L'angle RFG est do FGK. On peut alors faire tou en Taisant passer le sommet cesse de coïncider avec sa pc

Si l'on construit de la mSii et si on la retourne pour Toi près cela, rapprocher les dci

un mCiaa pUn, oe plan conlei IriAOre ta A.

gëombtkib u*ns l'espace.

l'aulre les polygones qui les (ermioent, en établiasant la coïncidence 6b Eomroela du premier où il n'y a qu'ait pentagone et des sommets do ^ cond qui en réunissent deux. Comme les plans de ces penUgonea ont déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour composer un angle (rièd:? <^gal à l'angle A, l'ensemble obtenu sera bien un dodécaèdre rëgnl<» coropria bous douze pentagones réguliers égaux rornuDt vingt aifle trièdrea éganx.

Jcnsaédre régulier.

Prenons [fg. jg6) un pentagone régulier ABUDE de côté a. Ëlevoues

son centre 0 nne perpendîcalaire et, dans la plan déterminé parle rtnn , OA et cette perpendiculaire, décrivons du pointA comme centre, etbo «

LIVM vrt. — LE» COnPS RONDS. H^l

pour rayon, un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire au point S ; carnesl plus grand queOA = n 1/ lltU.. Les arêtes SA-, SB,..., SE

seront égales entra elles et a a. Par Euiie, la Gurface latérale de la pyramide pentagona le SABCDB sera formée de cinq triangles équlialériii.~ (Sgaux entre eux et également inclinés, puisque les angles triédres isocèles en A, B, . ., E sont égaux entre eux comme ayant leurs trois faccâ (égales chacune à chacune.

Cela posé, en chacun des sommets A et B du triangle SAB, pi. çons (comme l'indique la seconde figure) le sommet d'une pyramide identique à la première SABCDE, de maniëre que les deux nouvellrs pyramides ABSEFQ, BASCIIG aient respectivement avec la première les faces corninunes A5B et ASE, BAS et 6SC, et entre elles les faces communes ASE et ABG. Nous aurons ainsi un assemblage de dix triangles ('quilalérauï l'gaux et également inclinés.

Cet assemblage forme une surface polyédrale ouverlr, moitié de l'icosaèdre, elles sommets de l'hexagone gaache (') CDI^IFGII qui l;i lermin" réunissent successivement rfffux et (roû triangles D'ailleurs, les angles de cet hexagone sont égaux : l'angfe DEF, par exemple, est égal è l'angk EFG, car tous deux sont évidemment égaux à i'»n;;le EAG. 0:i peut dort luire lourner le polygone CDEFGH sur lui-même, en Taisant passer L sommet C en H, le sommet H en G, etc., sans qu'il ces:-e de co'i'ucidei avec sa première position.

Si l'on construit de la même manière Li seconde moitié de l'icosaëdn et si on la retourne pour l'opposera la première moitié, on pourra donc rapprocher les deux calottes polyédrales et appliquer l'un sur l'autre le: polygones qui les limitent, en foisant correspondre les sommet? de l'ut qui réunissent trois triangles aux sommets de l'autre qui en réunissen f(eiix. Comme les plans de ces triangles ont déjà entre eux rinclinaisoi nécessaire pour oonstîtuer alors en chaque sommet un angle polyëdn égal à l'angle S, l'eniemble obtenu sera bien un icosaèdre régulier compris sous vingt triangles équilatéraux égaux, formant douze angles pentaôdrei (■gaux.

ScOLIB.

907. En ayant recours aux formules S = -- et A = — du n° OOj, oi

( ' ) La coalour CDEFGII ni ^laeha ; cnr *i lec quatre pointa C, T), E, F énio: dam QQ mèms plan, les deui pstilaQanci ABCDE, HSEFC, qui uni dvjà du le pliD COE 1» WmtnMi B et E camreui», leraient toui deux clana eu mta plan, qnt contiandrlil la point A en mtmt Icmp* que lei poinls B, E, ¥ ; < qui oU Impoulble, d'aprt* ce qui procèdu.

B. et H C. — Tr. da Géom. (Il' rarlie). |6

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

forme facilement le Uibleau suivant, qui renferme les nombres des ëémeuts des cinq polyèdres réguliers convexes, dont nous connaissons les nombres de faces :

Tétraèdre régulier. . .

Hexaèdre régulier...

Octaèdre régulier...

Dodécaèdre régulier.

Icosaèdre régulier...

Le nombre des faces de l'hexaèdre et le nombre de côtés de ses Ure^ sont respoclivemcnt égaux au nombre des sommets de roclaôdre et . l nombre d'arêtes de ses angles polyèdres. Il en est de même réciproqurnienl pour l'octaèdre comparé a l'hexaèdre ; le nombre d'arêtes rt^lf le même de part et d'autre. Les mêmes conditions sont remplies par le d >décaèdre et l'icosaèdro. On peut donc regarder les polyèdres réguluT> co -vexes comme conjugués deux àdeux ; car le tétraèdre régulier, ayant autant de faces que de sommets, est conjugué à lui-même.

THÉORÈME

908. Tout pofyèfire régulier convexe est inscriptible et circonscripttlle ri la sphère.

Soient (fg. 497) dans le polyèdre régulier considéré deux Uom^ adjacentes ABCDE, ABr/D'E\ dont 0 et 0' sont les centres.

Fig. .'197.

Les perpendiculaires OK et O'R au c6té commun AB se coopérant en n même point K ; les perpendiculaires OS et O'S aux deux laces ABCDS,