I.!VRR VII. — IBS CORPS RONDS

la sécante tourne autour du point 0, est un plan P perpendiculaire au diamètre ÂB qui passe par le point 0 ; car, dans chaque plan mené par OC, le lieu est une droite 1 340) perpendiculaire au diamètre AD etinenée par le point H, conjugué harmonique de 0 par rapport à ce diamètre.

On dit que le point 0 e<%t le pôle du plan P, et que le plan P est le plan polaire du point 0 par rapport à la sphère C.

Le plan polaire P d*un point 0 est évidemment le lieu des polaires du point 0 par rapport à tous les cercles de la splière dont les plans fHissent par G.

Le rayon de la sphère est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et au plan polaire, La discussion des positions du pôle et du plan polaire par rapport à la sphère est la môme qu'au n'' 341. Nous remarquerons seulement que, lorsque le pôle est extérieur à la sphère, le plan polaire est le plan de la circonférence de contact du cône qui est circonscrit à la splière et qui a le pôle pour sommet,

9 15. Les plans polaires de tous les points d*un plan passent par le pôle de ce plan; et inversement, les pôles de tous les plans qui passent par un même point sont sur le plan polaire de ce point, \jà démonstration du n* 342 subsiste; seulement, XY [fig, ai 8) représente alors la projection, sur le plan considéré, de la droite CO qui joint un point quelconque Ode ce plan au centre C do la sphère.

Il résulte de là que, si chacun des points d*un plan P est pris pour sommet d'un cône circonscrit à la sphère, les plans des cercles de contact oassent tous par un même point p y pôle du plan P; inversement, si, suivant chacun des cercles de la sphère dont les plans passent par un même point p, on circonscrit un cône à la sphère, les sommets de ces cônes sont tf.'us dans un même plan P, qui est le plan polaire du point p,

9i6. Soient une sphère dont le centre est 0 et une droite quelconque

Fig. 5o/}.

AD ( fig. Soi). Prenons le pôle A' do AB par rapport au grand cercle

^66 dÊOMÊTRIB DANS l'kSPACB.

ECFD situé dans le plan ÂOB, et par le point Â' élevons la perpendiculaire Â'B' à ce plan AOB ; on voit que, réciproquement, la droite Âfi eslb perpendiculaire au plan OÂ'B' élevée par le pôle A de A'B' par rapport au grand cercle EIFK situé dans le plan OA'B'. Les deux droites AB. A'B' ont reçu, d'après cela, le nom de droites récipnx^ues par rappor à la sphère 0.

Quand deux droites sont réciproques par rapport à une spfière, chacune d'elles est le lieu des pôles de tous les plans passant par l'mUrr: ou, ce qui revient au môme, c/iacune d'elles est C intersection commuât des plans polaires des divers points de f autre. En effet, le plan polaire d'un point quelconque M de AB est perpendiculaire au plan FCE, el « trace sur ce plan est la polaire du point M par rapport au cercJe FC£- Cette trace passe donc (342 ) par le point A' qui est le pôle de AB par rapport au cercle FCE. Par suite, le plan polaire CID du point M resferme la droite A'B'.

Il résulte de là que, lorsque deux plans sont tangents à ta sphère, Irv intersection est réciproque de la droite qui unit les deux points de eontûct. car ces points de contact sont les pôles des plans tangents.

Remarquons en6n que la droite AB est le lieu des pâles de sartciprogm A'B' par rapport à tous les cercles de la sphère dont les plans passent par MB'. En effet, A' étant le pôle de la droite AB par rapport au cerdf FCE, si N est le point où la droite AB rencontre le diamètre CD d'un cercle quelconque CID conduit par A'B', les points C, X\ D, N foraeDt un système harmonique ; donc N est le pôle de A'B' par rapport au cercle QD.

PLAN BADICAL DB DEUX SPIIÈRBS.

947. Si, par un point M de Fespace, on mène à une sphère 0 une. décante arbitraire qui rencontre la sphère en A et B, le produit MA. MB a une valeur indépendante de la direction de la sécante. Ce produit cocstant, qui est positif lorsque le point M est extérieur à la sphère, n^pi^f lorsque le point M est intérieur, et nul lorsque le point M est sur '•• surface sphérique, prend le nom de puissance du point M par mpffort •* la sphère 0.

La puissance d'un point par rapport à une sphère est égale, en grandeur et en signe, à l'excès du carré de la distance de ce point au centn sur le carré du rayon (372). Lorsque le point est extérieur à la sphère, sa puissance est égale au carré de la tangente menée à la spltèrepar c: point»

Quand deux sphères se coupent ortfiogonalement, le carré du rayon à: chacune d'elles est égal à la puissance de son centre par rapport à toMirt .sphère ( 3S3).

LIVnZ VII. — LES CORPS BONDS. 267

948- Le lieu fies points d'égale pmssancepar rapport à deux sphères est un plan perpendiculaire à la ligne des centres (373).

(^e plan a reçu le nom de pUm radical des deux sphères. — Lorsque -deujc sphères se coupent, leur plan radical est le plan du cercle commun ; lorsque deux sphères se touchent , leur plan radical est le plan tangent au iK>iiit commun. — Le plan radical de deux sphères concentriques disparaît à rinHni.

Le pion radical de deux sphères est le lieu des points d'où l'on peut leur mener des tangentes égales (374). C'est aussi le lieu des centres tics sphères qtd coupent les deux premières orthogonalement (383).

9i9. Les plans radicaux de trois sphères considérées deux à deux passent par une même droite (376). Cette droite est la perpendiculaire au plan des centres des trois sphères, élevée par le centre radical des trois grands cercles contenus dans ce plan ; elle a reçu le nom ^axe radical des trois sphères.

Lorsque les centres des trois sphères sont en ligne droite, Taxe radical se transporte à TinOni : il peut cependant arriver que les trois plans radicaux coïncident, auquel cas les trois sphères ont un plan radical au lieu d'un axe radical.

930. EnGn, les six plans radicaux de quatre splières considérées deux n deux passent par un même point. Car le point où Taxe radical des trois premières sphères rencontre le plan radical de Tune de ces sphères et de la quatrième est d'égale puissance par rapport aux quatre sphères; il est donc commun aux six plans radicaux des sphères considérées deux è deux, et aussi aux quatre axes ntdicaux des sphères considérées trois à trois.

Ce point est dit le centre radical des quatre sphères. Il est unique, à moins que les centres des quatre sphères ne soient dans un même plan ; dans ce cas, il peut arriver que le centre radical disparaisse à l'infini, ou bien qu'il soit remplacé par un axe radical, ou même par un plan radical si les centres des quatre sphères sont en ligne droite.

96\* Les propriétés relatives aux points anlihomologues ainsi que leurs démonstrations subsistent pour les sphères :

1* Le produit des distances de l'un quelconque des deux centres de titnditude de deux sphères à deux points antihomologues est constant; detir couplet de points anti/iomohgues sont sur une même circonférence, et deux cordes anti/iomologues se coupent sur te plan radical des deux sphères (378);

a* Quand deux sphères sont touchées par une troisième^ la droite qui Joint les points de contact passe par un centre de similitude de ces

268 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

deux sphères, et la réciproque de cette droite par rapport à latr*.sième sphère est située dans le plan radical des deux premières. Invtrsement, si la droite ab qui joint deux points respectifs a et b de dti sphères (X) et ( B ) parse par un centre de similitude de ces deux sphinx la sphère ( co ) qui touche {k) en a et qui passe par le point b touche \ 6 en b. Et encore, si la droite ab qui joint deux points respectifs a e: • de deux sphères est telle que l'intersection des plans tangents en a *' b à ces sphères appartienne à leur plan radical, la sphère (w) ■/ touche {A) en a et qui passe par b touche (B) en b (379)b

3** Si deux sphères (A) er (B) sont touchées respectivement en art ' par une sphère (w) e/ en a* et b' par une sphère (co'), de façon », • les contacts en b et b* soient semblables ou dissemblables en même icni^ que les contacts en a et «', le point de concours de deux côtés opp'^^ quelconques du quadrilatère ab a' b' est à la fois un centre de i r. litude des deux sphères dont ces côtés sont des cordes et un point ./ plati radical des deux autreç sphères (380).