LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

11 résulte immédialement de la définilion des figures inverses que trois couples quelconques a ei a\ h et b\ c et c', des points correspondants de lieujc figures inverses sont situés sur une même sphère. Donc une circonférence quelconque C et son inverse C appartiennent à une même sphère, et par suite (878) elles sont des sections antiparallèles d*un même cône oblique qui a Torigine S pour sommet. De là le moyen de trouver le centre de la circonférence C inverse d'une circonférence C; ce centre est (880) sur la droite qui jouit l'origùie S au sommet d'un cône auxiliaire y circonscrit suivant le cercle C à la sphère déterminée par la circonférence C et le point S.

9^. La formule du n** 386 et sa démonstration subsistent. Quant au théorème du n** 387, il s'applique aussi à deux lignes quelconques de respace ; mais une nouvelle démonstration est nécessaire.

Et d*abord on démontre, absolument comme au n°387, en considérant ^ fig* lio ) une ligne quelconque plane ou gauche MN et son inverse M'M', que leurs tangentes MT, M'T' font des angles égaux TMM', TM'M avec lo rayon vecteur SMM'. Cela étant, soient {fig, a4i) deux courbes gauches MA et Ma qui se coupent en M, et les courbes inverses M'A', M'a'; il faut prouver que Tangle des deux premières, c'est-à-dire Tangle /MT de leurs tangentes, est égal à l'angle rM'Tdes deux autres. Or on a, d'après Tobservation précédente,

/MxM' rr /MM, TMM' = TM'M ;

donc le trièdre formé par les droites MM', MT, M /, et le trièdre formé par les droites M'M, M'T, M'r, ont un angle dièdre égal MM' compris entre deux faces égales chacune à chacune; ces deux trièdres sont donc symétriques et, par suite, les troisièmes faces TMr, TM'f sont respectivement égales.

957. V angle de deux surfaces F et Ft, en un point quelconque m de leur ligne d'intersection amb, est égal à l'angle sous lequel les surfaces inverses F' et F\ se coupent au point correspondant m'»

En effet, menons par m sur les surfaces F et Ff deux courbes mp et mpi à angle droit sur la ligne d'intersection amb] leurs inverses m'p' et m'p\ couperont (956) à angle droit la ligne a'm'b* commune aux surfaces F' et F t , et de plus l'angle des deux premières courbes mp et mp^ sera égal à celui de leurs inverses m'p* et m'p\ . Or l'angle des courbes mp et mpi mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F et Fi au point m, et l'angle de m'p* et m'p\ mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F' et F, au point correspondant m'.

Puisque Tinversion conserve les angles des surfaces, let sphères inverses de deux sphères tangentes sont aussi tangentes; d'ailleurs on voit/

270 GÉOMfiTRIR DANS l'rSPACE.

comme au n° 393, que le contact entre les deux nouœlles sphèrei le contact entre les deux sphères primitives sont semblables ou dissemblables suii^ant que les puissances du centre d^ins^ersion par rapp^ aux deux sphères primitives ont le même signe ou des signes cppost'*. Les lignes et les surfaces inverses jouissent, relativement à û courbure, de propriétés très importantes que nous ne pouvons pas dévelopf^ ici. Nous renverrons sur ce sujet aux Mémoires déjà eités dans len'3l^? et à un Mémoire de M. Hirst, Annales de Tortolini^ t. Il, 1859.

Applications.

958. Voici quelques applications des principes qui précèdent.

On nomme projection stéréographique d'une figure sphérîqoe la perspective de cette figure faite en prenant pour point de vue S unpoinii la sphère, et pour plan de projection ou tableau le plan P du grand (%r> ' dont le pôle est au point de vue S.

D'après le n^ 953, on peut considérer le plan diamétral P comme <> verse de la surface sphérique, en prenant pour origine le point S ^ pour puissance le double du carré du rayon de la sphère. La pngeCii' stéréographique n'est donc qu'un cas particulier de la transformai)' par rayons vecteurs réciproques, et Ton peut énoncer les propo^iii '* suivantes qu*on utilise dans la construction des mappemondes :

i* Les projections stéréographiques de deux lignes traces sur '. sphère se coupent sous le même wigle que ces lignes eUes^méMes,

2° La projection ste'réographique d'un cercle de la sphère est •cercle dont le centre est la perspective du sommet du cône circonsr' à la sphère suivant le cercle proposé.

La projection stéréographique a été connue des Grecs : Ptolémée ! décrite sous le nom de planisphère ^ et les auteurs du moyen âgel'âpf" laient astrolabe, La construction du centre est due à M. Chasles.

959. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères donth^ • en un groupe de trois autres sphères ayant leurs centres en ligne drotu le lieu de V origine ou du pâle de transformation est la circonfertuy* qui coupe à angle droit les grands cercles des sphères données siiif ' dans le plan des trois centres. En effet, il est évident que les p6ie£ «i^ transformation doivent être dans le plan des trois centres, et qae U»»^ revient à transformer les grands cercles situés dans ce plan en troi? autres ayant leurs centres en ligne droite. Or, si l'on prend pour \^'^'-' un des points de la circonférence qui coupe orthogonalement oeâ troi* grands cercles, cette circonférence orthogonale se transforme eo ui^<^ droite qui coupe à angle droit les transformées des ciroonléreDC^^ données et qui, par suite, contient les centres de ces tranâforiDées.