SPHÈRE TANGENTE A QUATRE SPHÈRES DONNÉES

960. Supposons le problème résolu et soit X une sphère tangente à quatre sphères données Si, Si, Ss, S4 dont nous désignerons le centre radical par 0 {fig. 6o4 bis).

Si Ton fait l'inversion de la figure en prenant pour centre d'inversion le point 0 et pour coefficient d'inversion la puissance de 0 par rapport ù chacune des sphères données, chacune de ces sphères se transformerai en elle-même, et la sphère X', inverse de X, sera une seconde sphère tangente à Si, Ss, S|, S4; d'ailleurs les points de contactai, a'^, A3, a\ de X' avec Si, Si, S|, S4 sont situés respectivement sur les droites O^i. Oa|, 0^i«, 0^4 qui joignent le point 0 aux points de contact ^i, at, a^, a^ do X avec Si, Si, Si, S4.

Les puissances de 0 par rapport à Si et à X étant respectivement les mêmes que celles de 0 par rapport à Si et à X, il résulte du n"" 957 que les contacts en oi et en a^ sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en ai et en a\ . Par suite les couples de sphères Si et Si, X et X' satisfont aux conditions du n** 931 (3") ; 0 est donc un centre de similitude de X et de X', et le point de concours un de a^ a^ et (le a\ a 2 est è la fois un centre de similitude de Si et de S| et un point du plan radical R de X et de X'. De môme, le point do concours wn de rîtOiet de a\a'^ et le point de concours 0)14 de axoi^ et de a\a\ sont respectivement des centres de similitude de Si et de S3, de Si et de S4, et appartiennent au plan R. Par suite, le plan radical ^ de X et de \' est un plan de similitude &>iiUis<ui4 des quatre sphères données.

Il suit de là que les centres x et af des sphères X et X' sont situés sur la perpendiculaire OZi , abaissée de 0 sur le plan de similitude v^x | &>ii wu , puisque la droite xx' doit passer par le centre do similitude 0 de X et do X' et être perpendiculaire au plan radical de ces deux sphères.

Enfin les points a^ et a\ des sphères X et X' étant antihomologues, puisqu'ils se correspondent par inversion, les plans tangents en ax et a\ ont leur intersection Li dans le plan radical R (9S1, i**); mais Li et axa\ <Hant réciproques par rapport à la sphère Si, la droite ^t a\ contient le pôle, par rapport à la sphère Si, du plan R qui passe par Li (946).

On est ainsi conduit à la conclusion suivante :

S'il existe une sphère X tangente à quatre sphères données Si, Si, Si, S4, il existera une seconde sphère \' jouissant de la même propriété. Ces deux sphères associées X et X' touchent respectivement la sphère Si aux points ai et a\ où cette sphère rencontre la droite Op\ qui joint le centre radical 0 des sphères données au pôle pi^ par rapport d Si, de

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.

l'un des plans P| de similitude des ménies sphères, Ijes centres x et ï de X ei de X' seront les points où les droites qui joignent le centre m de Si aux points ai et a\ rencontrent la perpendiculaire OZi abaisH': de 0 sur le plan de similitude considéré Pi.

Comme il y a huit plans de similitude (936) des quatre sphères docnées, on voit que le nombre des couples de sphères tangentes à quairr sphères données est au plus égal à huit.

Pour qu'un tel couple existe, il faut évidemment, d'après ce qui pr>''cède, que la droite O/^i, qui répond au plan de similitude considcri. coupe la sphère Si. Cette condition est d'ailleurs sufGsante : en d^aotre^ termes, si la droite 0/?i, qui joint le point 0 au pôle p^, par rapp*>f't »* Si, d'un plan de similitude Pi des sphères données^ coupe S| en deui points ai et a\ , et si x et x' sont les points où Si ai et Si a\ rencontrent .' perpendiculaire OZi abaissée de 0 sur le plan Pi, les sphères X et \ décrites^ l'une du point x comme centre avec xai pour rayon, l'aurdu point x' comme centre avec x'a\ pour ra)ron^ toucheront Vane rf Vautre les quatre sphères données Si, Si, S|, S4.

Fig. 5o4 bis.

En effet :

D'abord, la sphère X touche Si au point ^i puisque le point «i ^'' commun aux deux sphères X et Si et se trouve en outre sur la li^' des centres six. De môme la sphère X' touche Si au point a\* Il reste «i prouver que X et X' touchent l'une et l'autre les sphères Ss, Ss, Sii ^ même simplement que X et X' touchent Ss, car le même raisonnement subsistera pour S3 et pour S^.

Or, désignons par ut et a^ les points de Ss qui sont antihomoIogQeS de ai et a\ par rapport à celui o^is des deux centres de similitude de S\ ci de Ss qui est dans le plan de similitude considéré P|. Il esUte