LIVRE VII. — LES CORPS RONDS
I 9!i\ , 1°) une sphère Y touchant respectivement 5, et S, en ai et en as, ainsi qu'une sphère Y' touchant respectivement S, et S» en a\ eteaa'.j. Lo centre 7 de Y est à la -rencontre de Ji^i et de^t^i et le centre j' do y à la rencontre de ji«', et de s,n'^. Si «,, est un contre de similitude directe de S| et de Si, les contacts en a, et Uj seront semblables ainsi c|iie les contacts en a", et a\ ; au contraire, si uu est un centre de similitude inverse, les contacts en ai et a, seront dissemblables ainsi que les contacts en a!, et a'^ . Les contacts en a',' et a'^ sont donc semblables ou ilissoroblables en même temps que tes contacts en a^ et fi]. Par suite, les sphères Y et Y' et les sphères Si et Si satisfont aux conditions du n" 9,11 (ï°), et l'on peut énoncer les propositions suivantes : i° l'intersection de ain'i et de ninj appartient au plan radical de Si et de Si, et comme aitt', coupe ce plan radical en 0, la droite iii', passe par 0; a* le point 0 est un centre de similitude de Y et de Y', et, par suite, les trois points j*, y\ 0 sont en ligne droite; 3° le point un appartient au plan radical R de Y et de Y'; mais, d'une part, la droite Xi réciproque de «in, par rapport à Si, c'est-à-dire l'intersection des plans tangents en tr, et a\ à la sphère Si, est sur ce plan radical; d'autre part, cette droite réciproque li doit appartenir au plan polaire Pi du point />, situé sur oin'i ; le plan Pi contient donc un point u,i et une droite ")., du plan radical R et, par suite, se conrond avec lui. Il résulte de là que la ligne des contres ^y est perpendiculaire au plan ?,. Les pointa/ et y sont donc situés sur OZi, aux points où cette droite rencontre si a, et s, a\ ; ils coïncident par suite avec les centres x et x* de X et de X', de sorte que les sphères X et X' coïncident elles-mêmes respectivement avec Y et V' et, par conséquent, touchent la sphère S,.
TIIKOHÙUE RR UliPUIS.
961 . Conservons les notations du numéro précédent et supposons que, les trois sphères Si, S„ S, restant Gies, la sphère S| varie. Le point O, centre radical des quatre sphères, décrira l'axe radical H dos sphères Rxes Si, Si, S). Supposons, par exemple, que P| soit le^plan de similjtudo directe des quatre sphères, et soit D l'axe de similitude directe des sphères Si, Si, Sj; la droite D étant contenue dans le plan P, et restant Tixe avec S|, S|, Si, le plan P| tournera autour de D et, p:ir suite, son pôle/>i par rapport à S| décrira la droite 5 réciproque de D par rapport à Si; or la droite S ost perpendiculaire au plan des centres <„ il, /). Donc la droite variable Opt s'appuiera constamment sur deux droites Qies H et ^ perpendiculaires au plan .<■ ti<i; le point de contact 17, de X et de S| étant situé sur Opi, ne sortira pas alori du plan
n. Bt Di C. — Tr. de Géom. (II* PaKIe). iS
2^4 GÉOMÉTRIE DAKS L'iCSPàCB.
des parallèles H et ^ ; le lieu de ce point ai est donc le cercle suiw lequel le plan de H et de ^ coupe la sphère Si.
De là, ce théorème dû à.Dupuis :
Quand une sphère variable X touche constamment de la me'r^ manière trois sphères fixes St, Sj, S3, chacun des trois pot/tts de cofitiK ai «î, az décrit un petit cercle sur la sphère fixe correspondante.
Les auteurs qui se sont occupés du problème relatif à la sphère t.^i • gente à quatre sphères données (Gaultier de Tours , Journal d- V École Polytechnique, t. IX; Hbeguann, Mémoires de l' Académie dt Lille, 1823; J.-A. Serret, Journal de Crelle, t. XXXVII, et iVbtfiW.t Annales) ont fondé leur démonstration sur le théorème de Dupuis. Alieu de suivre cetle marche, qui rompt l'analogie avec la Géométrie piarx nous avons tenu à conserver celte analogie, et l'on peut voir que If raisonnement employé au n° 960 n'est que l'extension naturelle de «•! déjà fait au n* 400. Le théorème de Dupuis n'en est alors qu'un cor"laire immédiat, comme nous venons de le voir. On peut toulefois « désirer une démonstration directe. Une des plus simples repose i^ur remarque du n* 939 :
Considérons la figure formée par les trois sphères fixes Si, Sj, S,. la sphère variable X qui les louche ; transformons cette figure de façon q. Si, Sj, Sa deviennent trois sphères 2i, 2j, Sj ayant leurs centres ^i, ^t- ' en ligne droite. La transformée { de X touchera 2j, ij, I3 et le lieu de?' point de contact avec l'une quelconque de ces sphères sera évidenirc' un cercle dont le plan est perpendiculaire à. la droite o-io-jCi. Donc. » revenant à la figure primitive et se rappelant que la transformée *i cercle est un cercle, on voit que le point do contact de la sj»'-' variable X décrit un cercle sur chacune des sphères fixes S|, Sj. > (Mannheiu, Nouvelles Annales, i'* série, tome XIX.)
sphère tangente a quatre PL.4NS DONNÉS.
96?. Établissons d'abord un lemme : »
Soit AiAsAsA^ un tétraèdre, k étant l'un quelconque des iod!" I, 2, 3, 4, désignons par Sk l'aire de la face opposée au sommet A^ \ MPa- la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque M de l'espace si le plan de cette face, et par Xk le nombre qui mesure la longueur de ct^' perpendiculaire, précédé du signe H- ou du signe — suivant que le fn»^ M et le sommet Aa sont d'un même côté ou de côtés difTérents ptf ^^1 port au plan de la face Sk»
Les quantités xj, xt, xj, x^, reçoivent le nom de coordonnât f^^^^'' driques du point M.
IIVRB VII. — LBS CORPS IlOTfDS. 275
Les eoordonnéet tétraéihiques d'un point quelconque M de t'espace smlUjont à la relation
l'I *,x, -\-s,x^ -"-Jj-Tj -l-ï.i', = Iv,
!■ étnnt le volume du tétraèdre.
En effel, les plans des faces du télraèdre indéfiniment prolongés partagent l'espace m quinze régions ; ce sont {fig. 5o5) :
L'espace A,A,A,A, occupé par le lélraèdre;
Le iriètlre A,a,a,a,, opposé par le sommet au Iriëdre A, du tétraèdre^ il y a quatre Irièdres de ce genre, un relatif à chaque sommet ;
Le trône de pyramide indéûni A,A,A.<ï,n,<?„ qu'on obtient en re- IraDchant du irièdre A, l'espace occupé par le tétraèdre ; il y a quatre troncs de ce genre, un relatif â chaque face ; Fig. 5or..
Le comble A,A,a',aja'.M, qui a pour faite l'arête A,A, et pour - ar/ies les prolongements A, a,, A, a., des arêtes qui aboulissenl en A, et les prolongemeota A,a',, A,a'„ des arêtes qui aboutissent en A,; il y a sis combles de ce genre, un relatif à chaque arê{e.
Cela posé, si le point H est situé dans l'inlérieur du tétraèdre, les quantités j„ j„ *„ j-„ sont positives; les expressions ^^-r,,^!, j:„ j^j-'j. 3 ', *,. représentent les volumes des pyramides trianguldires qui ont M pour sommet et, pour bases, les faces j„ *„ i„ s,; et, comme la somme des volumes de ces pyramides estégale au volume du tétraèdre, <ii lelilion {1} estdémonirée pour co cas.
2^6 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACB.
Si le point M est dans le trièdre Àia^a^a^, les hauteurs des pyramides qui ont pour bases s^,s^,s^,s^^ et pour sommet le point H, sont respectivement égales à X,, — jr„ — x„ — x^, et, comme le tétraèdre équinat à la pyramide ayant pour base s^, diminuée de la somme des pjramid«s ayant pour bases s^1s^^s^^ on a
ccst-à-dire encore la relation (i).
On voit de même que, suivant que le point M est situé dans le tronc A^Â^Â^ a^a^n^ ou dans le comble (A, A,), on a
ou
c'est-à-dire toujours la relation (i), qui se trouve ainsi établie pour loos les cas.
Rbciphoouemunt, si quatre quantités x,,x,,x,,x,, satisfont à la relût ion (i), il existe un point de F espace et un seul dont ces quantités ion'les coordonnées tétraédriques.
En effet, menons un plan Q^ parallèle au plan de la face s^^ i une distance de celui-ci égale à la valeur absolue de Xj^, et du même côté du plan Sf^ que le sommet Aj^ ou du côlé opposé, suivant que x^ est posiu: ou négatif; nous obtiendrons ainsi quatre plans Q,, Q„ Q^, Q^, biend^ terminés. Trois quelconques d*entre eux, Q,,Qj, Q4, se coupent ea on fKiint unique fx dont nous désignerons les coordonnées tétraédriqiM8 p^r £,, S,, Ç,, H4. D après la construction du point M, on a
d'ailleurs, le point fx est le seul point de l'espace dont les trois coordonnées d'indices ^, 3, 4 soient respectivement égales à <f,tX^,x^. 11 res^i^ donc seulement à prouver que Ç, est égal à x,. Or on a, par le théoreDdirect,
c'est-à-dire, à cause des relations précédentes,
et la comparaison de cette relation avec la relation (i), qui, par h)[^ thèse, est ici satisfaite, donne S, = x,.
963. Abordons maintenant le problème de la sphère tangente à quatre plans que nous supposerons former un tétraèdre.
LIVBK VU. — LBS CORPS RONDS.
Pour qu'il existe une sphère iA^rW» dans le tiilraèdre, il fau qu'on puisse saiieffùreà la relation (i) en prenant
p désignant le nombre fini et posiliT qui mesure le rayon de Or, une telle solution est toujours possible et est unique, car h tion des valeurs précédentes dans [i] donne
d'où l'on tire pour p la valeur unique, finie et positive.
n y s donc une sphère Inscrile au tétraèdre et une seule ; son donné par la formule précédente ; d'ailleurs, son centre, étant i des quatre taoea, appartient à tous les plans bissecteurs des dii rieurs du tétraèdre, et trois de ces plans, relatifs aux trois ai même face, suffisent pour le déterminer.
Pour qu'une sphère tangente eût son centre dans !e Irièdre f faudrait qu'on pût satisraire à la relation (i) par les valeurs
pelant fini et positif; or, la substitution de ces valeurs donno
(*,— j,- jj-i,}p= 3.S d'où p= ^' -
ce qui est impossible, puisque, une face quelconque d'unlétn moindre que la somme des trois autre?, le second membre i Ainsi, il n'f a aucune sphère langenteayant son centre dmis le I sidéré ni dans les trois autres triëdres analogues.
Il y a, au contraire, une sphère dans le tronc A,A,A,A,rf, substitution des valeurs
donne
(-.,-.., + *, ->,.)p..3., d'où p=^-|^
valeur unique, Bnie et positive, puisque dans un tétraèdre uu conque est moindre que la somme des trois autres. Cette aph exintcrite suivant la face i, ; son centre est a l'intersection des secteurs des dièdres extérieurs relaiifs aux arêtes de cette fac< m6me une apbèreeiinscrile dans chaque tronc.
2^8 GÊOMfiTRIE DANS L'kSPACE.
Voilà donc cinq sphères, la sphère inscrite et les tjtintre sphères ejcijtscntesj donl Texistence est certaine. II reste à examiner ce qui se passe pour les combles.
Pour raisonner d'une manière générale, désignons par A^Â^^ ]*aréte relative au comble considéré et par Ai'Ak* Taréle opposée. Pour qoil y ait une sphère tangente dans le comble (A^A^), il faut et il suffit que la substitution des valeurs
dans la relation (i] donne pour p une valeur finie et positive. Or, oetto substitution conduit à
{Si-hS^—'S/ — S^f)p^3Pf d*où p =
Donc, poiir qu'il X ait une sphère tangente dans rondes combles y il faut et il suffit que la somme s^ -f- j^ des deux faces qui ont pour c6té commun r arête du comble soit supérieure à la somme St^ -h s^ des deux auUes faces,
II suit de là immédiatement que, s'il y a une sphère flans un comble, tl n'y en a pas dans le comble opposé, et que, si la somme de deux faces en égale à la somme des deux autres, il n'y a de sphère tangente ni dam le comble qui a pour arête le côté commun aux deux premières faces, ni dans le comble opposé qui a pour arête le côté commun aux deux autres faces.
Donc, enfin, le nombre des sphères tangentes à quatre plans formam un tétraèdre est au moins égal à cinq et au plus égal à //////.
Admettons, ce qui est permis, qu*on ait
et posons L'égalité 7, = o entraîne 73 :^ o et 7, = o ; car, si l'on a
c'est que les différences entre parenthèses, qui ne peuvent être négatives,
sont nulles; on a donc-
j, = .ïj = .ç, = s^
et, par suite,
