LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

c'est qiielesdilTéreneosentro parentbâsea sonl nulles; on a donc «i = .'i, ■*"i = n et, par auile, çi = o.

Ces remarques très 8im,nlc3 permetlcnt d'achever la discussion.

Si les trois quantités y,, q,, q^ sont nulles, on a *, = r, = .v» = (i, el réciproquemonl. Donc, pour que le nombre des sphéret toit égal à 5, it J'niti et il suffit que te léiraéilre ait toutes ses faces égales entre elles.

Si deux seulement des quantités 71, q%, q\ sont nulles, c'est qu'on a

y» ^ o, îl = o, qt > O,

c cst-ù-dire

Il ^-^ St, s, =ï», .tl>ïi,

et réàpToquemeat.Ttonc,pourquelenombredestp/ii/vssoiiégalà<>,it f'titi et il suffit que te ^ faces du tétraèdre soient égales deu.c à deux sans e'ii-e toutes égales entre etles.

Si une seule des quantités qt, yi, q^ est nulle, c'est qu'on a

7, =- o, /„ :- o. 51 ; o, cest-à-dire

.*, -^Si= .(i-t-J^l, *| > Jl^fl>.(t,

cl réciproquement. Doue, pour que le nonJire des sphères soit égal à 7, il faut et il suffit que le tétraèdre ail une face marimum et une face miiiiiiiiir», et que la somme de- ces deux faces soit égale à In somme des deux 'iiiires, lesquelles peuvent d'ailleurs Ôtro égales entre elles ou iiiéj^es.

Enlln, si aucune det trois conditions précédentes n'est réalisée, le nombre des sphères est égal à 8.

Nous laissons au lecteur le soin d'examiner les cas où les quatre plans lionnes ne forment pas un tétraèdre,