POLE ET POLAIRE PAR RAPPORT A VN CERCLE DE LA SPHBRE
966. Un point 0 et un petit cercle AEFB étant donnés sur la sphère {fis- 5o6 ), si par le point 0 on mène un arc de grand cercle sécant OFE et qu'on détermine le conjugué harmonique I du poifU 0 par rapport a EF, le lieu géométrique du point I lorsque l'arc OFE tourne autour du point 0 est un arc de grand cercle perpendiculaire au grand cercle (^' déterminé par le point 0 et par le pâle C du cercle donné.
En effet, soit 0' le point où le rayon wO rencontre le plan du cercle donné : les trois points E, F, 0' seront en ligne droite, et le faisceau des quatre rayons wE, toi, wF, toO' sera par hypothèse harmonique: donc, si r est le point de rencontre de EF et dewï, le système reclilt|:nt
LivBB vir. — 1
K. r, F, C sera aussi harmonique. Mata le lieu du point l' est une droite Kli située dans le plaa AEB et perpendiculaire au diamâtre O'BA',
donc le lieu du point I est l'intersection de la sphère par le plan uKII; c'est donc un grand cercle perpendiculaire au grand cercle OC.
On dit que le point 0 est le pôle du grand cercle wKH, et que en grand cercle est la polaire du point 0 par rapport au cercle AEB.
Le mot pâte a déjà reçu une autre acception, mais il ne pourra jamais y avoir d'ambiguïté si l'on fait la convention suivante : quand nous emploierons le mol pôle dans le nouveau sens que lui attribue le théorème précédent, itsera toujours suivi Aea mais par rapport au cercle consiiléré, tandis que, lorsqu'il sera pris dans le sens primitif (941), ce mot ne sera suivi d'aucune indication.
Nousavons étudié avec détail au n°3il les positions relatives du point 0' et de la droite KH : le lecteur en déduira aisément les positions relatives du point 0 et du grand cercle oiKH.
Quand le point 0' décrit une droite dans le plan AEB, on sait 1 312 ) que la droite KH tourne dans ce plan autour du pûle de celte droite ; mais alors le point 0 décrit un grand cercle, et le plan vKH tourne autour du diamètre qui perce la sphère au pèle, par rapport à AEB, du grand cercle d^ril par 0. Donc, let polaires de toas les points d'un grand eertle patftni par le pôle de ee grand eertle par rapport au cercle directeur AEB : et les pôles par rapport au cercle directeur AEB, de lotis les grands cercles gui passent par un point de la sphère, sont situés sur le graml cercle iiolaire de ce point .
Le théorème du n* 3it, sa démonstration et ses conséquences (34S, 3M>) subsistent pour la sphère en remplaçant les droit«s par des arcs de grand cercle; il en résulte le moyen de construire sur la sphère la polaire d'un point par rapport à un cercle directeur donné.
Enrin, la mélliode de transformation par les polaires réciproques (348
GfiOHÊTRIB DANS l'eSPAGS.
et suiv.) s'étend aussi aux Bgures sphériques. Le mode de transformatko
général par polaires réciproques dans l'espace contient comme cas part •
culier le mode de transformation spécial que nous avons exposé au n** 808
pour les figures sphériques, et dans lequel on fait correspondre i lu
triangle un triangle supplémentaire. Soient , en effet , une sphère de
rayon R et un point A de l'espace situé à une distance d du centre «• de
la sphère ; le plan polaire de ce point est un plan perpendiculaire à (i»A
R* et situé à une dislance de w égale à -y Si le rayon R de la sphère tend
R* vers zéro , -j tend aussi vers zéro, et les plans polaires de tous les poiotj
de la droite indéfinie &> A ont pour limite le plan unique mené par m perpendiculairement à &> A. On peut, d'après cela, donner à ce plan le dco de plan polaire ÙQ\di^TO\ie uA par rapport à une sphère infiniment peùle ayant w pour centre. Cela posé, si Ton a une figure formée de droites e( de plans passant tous par un point ea, on aura la figure corrélative tt menant par w des plans et des droites perpendiculaires aux droites etaox pliins de la figure primitive. Sur la sphère, à un grand cercle répondra son pôle, et inversement, de sorte que l'on retombe sur les figures sopplémenlaires des n*" 811 et 81 S.
