II. fl M C. — Tr. J,- Géom. (Il* Porlîo). Iq
290 GÉOMÊTItlR DANS L*ESPACE.
Le procédé qu'on vieni d'indiquer est surtout applicable sur le terrain : on remplace alors les épingles par des piquets, le fil par une corde et le crayon par un jalon. Nous mentionnerons plus loin d'autres tracés bien préférables au point lîc vue de l'eiécution des épures.
Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La longueur constante AA' est ordinairement représentée par aa.
La distance FF' ou distance focale est représentée par ar.
L'existence du triangle MFF' entraîne alors la condition
:2c -^1 a ou c<^a.
Le rapport -est Vexcenlricité de Tell ipse. Cette exceniri-
lilé peut varier de o à i . Pour c = o, elle est nulle, les foyers se confondent et l'ellipse devient un cercle de rayon a. Pour c= a, l'excentricité est égale à i, et l'ellipse se réduit à h portion de droite FF' = 20. Entre ces deux limites, l'ellipse se rapproche d'autant plus de la droite FF' que son excentricité est plus grande.
97i. On peut aussi tracer l'ellipse par points.
En effet, marquons [fig, 5i2) le milieu 0 de la distance focale
Fig. 5ia.
FF' et, de part et d'autre du point 0, prenons OA =r OA' =ff, puis un point quelconque K sur AA'. Si des points F et F comme centres, avec des rayons respectivement égaux à AK et A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs points d'intersection M et M' appartiendront à l'ellipse, puisqu'on aura
MF -4- MF =ir MF -\-WF r^ AK -^ A'K r^ 2rr. La distance des centres FF' étant toujours moindre que h
LIVKE VIII. — LSB C0URBB3 USUELLES. 39I
somme ao des rnyons, il suffît, pour l'intersection des deux circonférences, qu'on ait, en supposant K à droite do 0,
FF'>A'K-AK ou ac>aa — lAK.
La condition cherchée est donc AK |> a — o ou AK ^ AF.
D'ailleurs, on peut échanger les centres F et F' sans modifier les rayons employés, de manière à obtenir pour chaque point K quatre points M ei M', N et N' de l'ellipse. Les limites des positions du point K sont alors l'un des Tuyers F et le point 0. Tout cela résulte immédiatement de la symétrie de l'équation de condition MF + MF' = an par rapport aux deux rayons vecteurs d'un même point.
Si le poinl K est en 0,les points correspondants de l'ellipse .sont en B et en B' sur ta perpendiculaire élevée à la droite FF' par son milieu. Si le point K est en F, les deux points correspondants de l'ellipse sont en A et en A'. Le rayon vec~ l'iir minimum est AF ou a — c, le rayon vecteur maximum est A'F ou rt-4- c.
TIlftORÈME.
973. L'ellipse a .- i° pour axes, la droite KK' qui passe par nés deux foyers et la droite 1(B' perpendiculaire au milieu de la première ; -i' pour centre, l'intersection de ces deux droites.
On appelle <i:f« d'une courbe toute droite par rapport à laguelle les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux; on appelle centre d'une courbe tout poinl par rapport auquel les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux (CaS).
■"Soit M un point de l'ellipse [Jig. 5i3); on aura MF + MF' = 3<i.
Supposons alors que le plan de la figure fasse une demi-révolution autour de AA'. Dans ce mouvement, les foyers restent fixes, le point M vient dans la position symétrique M, ci, comme le triangle MFF' no se déforme pas, on a
M,F'( M,F'=an, c'csi-à-dire que le point M, appartient à l'ellipse. Donc à tout
9t^ Jh.-
GÊOMtTRIK DAMS L'eSPACS.
point M de l'ellipse correspond un point Mi» symétrique de \I par rapport à ÂA^
Si le plan de la Ggure fait de même une demi-révolution autour de BB% les fojers ne font que s'échanger, le point M vient dans la position symétrique Ms et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas» on a encore
M,F-hM,F'=2û;
ce qui montre qu'à tout point M de l'ellipse correspond an autre point Ms de la courbe, symétrique de M par rapport àBB'.
Fig. 5i3.
Fig. 5 14.
Fîj. 5i5.
!• fc'
2** L'autre partie de la proposition n'est qu'un cas particulier de ce théorème plus général : Quand une courbe poisèdf deux axes rectangulaires xx' et jy ^ leur intersection 0 e^i un centre de la courbe {Jig, 5i4)«
Soient M un point de la courbe» M' son symétrique par rapport au point 0, ei N l'intersection des parallèles menées re^ pectivement aux deux axes par les points M et M\ L'égaliié des triangles rectangles MOP, OM'P' donne
MPrzrOF = PN et M'P' = OP=PN.
Le point N est donc à la fois symétrique de M par rapport à xx' et symétrique de M' par rapport à 77^. Or, le point N étant sur la courbe comme symétrique de M, le point M' en fait aussi partie comme symétrique de N. Donc à tout point M de la courbe correspond un point M' symétrique de M par rapport à 0.
Il résulte de là que le milieu 0 de la distance focale FF' es\ un centre de l'ellipse.
LIVUB VIII. — LBS COURBBS l'SUELLI
On peu! d'ailleurs le démontrer directemeni (M- 5i5).
Soient M un point de l'ellipse et M' son symi port k, 0 ; menons les rayons vecteurs de ces \ gonales MM' et FF' se coupant mutuellement ei le quadrilatère MFM'F' est un parallélogrami M' appartient à l'ellipse en vertu de l'égalité tours FM F' et FM' F'.
CoaOLLAlHKS.
97G. On appelle longueurs des axes de l'ollips AA' et BB' interceptées sur ces axes par la coi La longueur du premier axe AA' est donc (d1 la longueur du second BB' est représenlée par
La perpendiculaire BO(^g'.5i3j élantmoindi BF = a, on a
AA' est dit alors le grand axe et BB' le pelit a Les extrémités A et A', B et B' des deux axe;
les sommets de la courbe.
Le triangle rectangle BOF {fg. 5i3} donr
rnlalion qui permet de déterminer l'une des
a, b, c, lorsqu'on connaît les deux autres.
977. Quand on donne les longueurs a et h, déterminer graphiquement les foyers : on n'a l'extrémité B du petit axe comme centre (Jig rayon égal à a, un arc de cercle qui coupe le deux foyers F et F'.
tiiëorè:me.
978. Suivant qu'un point est intérieur ou e lipte, la somme de ses dislances aux deux foyet ou plus grande que ia.
Soit d'abord (^g*. Siti) un point N intérieur gnons ce point aux deux foyers, prolongeons rencontre de la courbe en M, et menons MF connu donne Immédiatement
NF-t-NF'<MF^-HF' ou NF-fNF
^4 GÊOMÉTEIB DANS L^ESPACB.
Soil de même un point N' extérieur à l'ellipse. Joignons ce point aux deux foyers; N'F' coupant la courbe au point M,
Fie. 5i6.
menons MF. En s'appuyant sur le même théorème, on aura ici N'F-f-N'F'>MF-+-MP ou N'Fh-N'F > aa.
Corollaire.
979. Le théorème précédent, rapproché de la définition de l'ellipse, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque du plan de la courbe par rapport à cette courbe supposée non tracée. Suhant que la somme des distances d'un point aux deux foyers est supérieure , égale on inférieure à 2#/, ce point est hors de la courbe y sur la courbe ou dans son intérieur,
THÉORÈME
980. La tan fiente à l'ellipse fait des angles égaux avec la rayons vecteuis du point de contact, extérieurement à leur ang>m
Prenons sur l'ellipse (^g'. 517) deux points voisins M et M': menons la sécante MM'S et les rayons vecteurs des deux poinis M et M'. Portons sur F'M une longueur F'D = F'M' et sur FiM une longueur FC - FM'. Le srgmcni MD représente alors l'augmentation, que subit le rayon veneur mené du foyer F quand on passe du point M au point M', et MC la diminution f|ue subit le rayon vecteur mené du foyer F quand on passe du même point M au même point M' ; comme la somme des rayons vecteurs d'un point de l'ellipse reste constante, MDesi égal à MC.
Cela posé, d'un point quelconque G delà sécante MM N
LIV» rtll. — LKS COUiBBS USUELLES. 2Ç)Ù
menons aux droites H'D ei M'C des parallèles GI et GH jusqu'à la rencontre des rayons vecteurs du point M. Le quadribtère GHMI étant semblable au quadrilatère M'CMD (208), l'égalité de MD et de MC entraîne celle de MI et de Mil. D'ailleurs, les droites GH et GI, étant parallèles aux bases M'C et M'D des triangles isocèles CFM', DF'M', sont perpendiculaires au:i bissectrices de leurs angles au sommet.
Quand le point mobile M' se rapproche du point fixe M, la sécante MM'S tend vers la tangente au point M. Les bissectrices des angles CFM', DF'M', ayant alors pour limites le^; rayons vecteurs FM, F' M du point M, les droites GU et GI ont elles-mêmes pour limites les perpendiculaires abaissées du point G sur ces rayons vecteurs. D'ailleurs, pendant ce mouvement, UU et MI varient en restant égaux entre eux.
FiB- 517.
Fie. 5i3.
On voit, d'après cela, en passant à la limite, (]ue ce qui caractérise la Ungente MT au point M (fig. 5i8), c'est que, si, d'un point quelconque G de cette droite, on abaisse des perpmdiculaires GH et GI sur les rayons vecteurs MF et MF' du point M, on ait Mil = MI. Les triangles rectangles MGH, MG) sont alors égaux, et il en est de même des angles GMH, GM). La tangente A t'ellipte est donc bUtectrice de l'angle formé par l'un det raj-ont vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre rayon.
L'angle F'MT, étant l'opposé par le sommet de l'angle GMI, \'i3 deux angles GMH ou FMT ei F' MT, sont égaux, ce qui vcrille le premier énoncé du théorème.
COKOLUIRLS.
