La droite F' 9, qui joint un foyer F de l'ellipse au
^9^ GÉOHÉTRIB DAMS L'BSPACB.
symétrique 9 de Vautre foyer F par rapport à une tangente quelconque TT, , passe par le point de contact M de cette tangente et est égale à la longueur 2. a du grand axe {Jig. Stc^y £n effet, joignons le point de contact M aux points F', F et 9, cl désignons par K le point où Fcp rencontre la tangente TT.. L'égalité des triangles MKF, MKcp, qui ont un angle droit compris entre deux côtés égaux entraîne celle des angles O F,
rig. 519.
KM 9; d'ailleurs, d*après le théorème précédent, le prolongement de F' M doit faire avec MT un angle égal à KJdF; donc le prolongement de F' M n'est autre que Mf, ce qui démonue la première partie de l'énoncé. D'autre part, les mêmes triangles donnent M<p = MF, d'où l'on déduit
F'<p = F'M -+- Mo ---r FM 4- MF tiz aa.
982. Tous les points de la tangente à l'ellipse sont extérieurs à la courbe, sauf le point de contact.
En effet, la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de F(p, un point quelconque T, de cette droite est équidisunl de F et de <p. On a donc, d'après le triangle F'TiÇ,
ï,(pH-T,F' ou T,F4-T.F>F'<p ou na.
Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont donc extérieurs à l'ellipse (979).
LITRB VIII. — LER COUSUS L'GUELLEg. 397
La tangente en un point d'une courbe peut couper la courbe CM d'autres points; mais elle a nécessairement (111) avec la cMurbe au moins un point commun de moins que les droites qui en ont le plus. De ce qu'on vient de démontrer, il résulle donc qu'an* droite ne peut rencontrer l'ellipse en plut de leur points, c'est-à-dire que l'ellipse est une courbe connexe.
983. Si l'on mène au point M [Jtg. 5i8) la perpendicu- Inirc MN à la tangente MT, les deux angles FMN, F'MN sont t'fiaux comme compléments d'angles égaux. Donc, la normale li l'ellipse est bissectrice de l'angle formé par tes rayons vecifurs du point de contact.
La normale en un sommet de l'ellipse se conTond avec l'axe correspondant, et la tangente est perpendiculaire à cet axe, de sorte que la courbe est inscrite dans le rectangle construit sur ses axes.
Les propriétés précédentes justifient la dénomination de foy-er. L'angle d'incidence et l'angle de réflexion étant égaux, lis rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l'un des Toj-ers F d'une ellipse, viennent, en vertu d'une loi [>livsique, après leur réHexion sur la courbe, converger à lnuire fojer F'.
THÉORËMB,
98i. Le lieu des symétriques ip de l'un des foyers F de l'ellipse par rapport aux tangentes est un ceivle décrit de l'autre foyer ¥' comme centre, avec la longueur aa du grand axe l-our rayon {fig. Sig).
D'abord, tout point ip du lieu est sur le cercle en queslion, liuisque (981) F'ç est égal à 2a.
Inversement, tout point f de ce cercle est le symétrique lie F par rapport à une certaine tangente à l'ellipse qui a F *'i V pour foyers et le rayon F'tp pour la longueur de son grand a\c. En efl'et, soit M le point où F'ip rencontre la perpendiculaire TT, sur le milieu K de F?. L'égalité des triangles KMF, KM9, qui ont un angle droit compris entre deux eûtes égaux, .!m.iic.MF = M<}i,d'oiirondéduitMF'-,-MF — MF'-t-Mip^F'ç; dimc (979) le point M appartient à l'ellipse. Les mêmes trianrl<:!j entraînent, en cuire, l'égalité des angles KMF, KM 9, et
298 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACB.
par suite celle des angles KMF, T,MF'. Donc, la droite TT, esi
la tangente à Teilipse en M (980). Donc, enOn, le point 7 du
cercle est le symétrique de F par rapport à la tangente KT,.
On donne au cercle F' 9 le nom de cercle directeur relahj
au foyer ¥. Au foyer F répond aussi un cercle directeur d.*
même rayon ia,
THÉORÈME
985. Le lieu des projections des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le qranti axe comme diamètre.
Soient {fig, 5io) F et F' les deux foyers, R la projection du foyer F sur une tangente quelconque TT, et 9 le symétrique* de F par rapport à cette tangente. Le côté F'9 du triang!»" FF'9 étant égal à ia (981), la droite OK qui joint les milieux des deux autres côtés est égale à a. Le point K apparlietu donc à la circonférence décrite sur le grand axe comnie diamètre.
Réciproquement, tout point K de cette circonférence est Ij projection de Tun des foyers F sur une tangente; car, si Ton prolonge FK d'une quantité K9 — KF, on aura
Par suite le point 9 appartient au cercle directeur relatif au foyer F', et Ton a démontré au n" 985^ que tout point de ce cen:ie est le symétrique de F par rapport à une tangente à Fellipse. Le cercle OK est dit le cercle principal de Tellipse.
SCOLIB.
986. *Si le sommet d'une équerre décrit le cercle principe! d'une ellipse, pendant que l'un de ses côtés passe constamr ment par un foyer de la courbe, l'autre côté de l'équetre ht reste toujours tangent.
UVHI VIII. — LES COUHBKS L'SLII.LKS. 799
THÉORÈME
087. I" Le lien des poinli éifiiidislants d'un cercle décentre F' et d'un point intérieur F cj/ une ellipse dont les points V l't F' sont les foyers et dont le grand lixe est égal au rayon 'lu cercle [Jîg. 519].
En elTei, soit .M un poinl du lieu; sa dislance à la circonrérence csl égale au segment Mip obtenu en prolongeant le lajon F'.M jusqu'à sa rencontre avec cette ligne. On a donc \IF: = Mç, et par suite F'M -+ MF= F'M -h M9 ^ F'?. Le [luint M appartient donc à l'ellipse définie dans l'énoncé.
Inversement, tout poinl M de cette ellipse est équidislanl de la circonférence et du point F; car, puisque F'M + MF c.<t l'gal à F'9, c'est-à-dire à F'M ■^- Mcp, c'est que MF est égal à Mo.
a" La tangente en un point quelconque M du lieu est perpendiculaire sur le milieu K de la droite qui joint le point intérieur F à l'extrémité ç du rayon FM passant par M,
En effet, la tangente doit être également inclinée sur MF et MF', ou, ce qui revient au même, être la bissecirice de l'angle 9MF, et, commecetriangleest isocèle, elle est perpendiculaire i^ur le milieu de la base F9.
9S8. I)e ta résulte, pour l'ellipse, un nouveau tracé donnant ù la fois le point et la tangente :
De l'un des foyers F', comme centre, décrivez un cercle de myoH égal à ia; joignez l'autre foyer ¥ à un point quellonque ip de ce cercle, et menez la perpendiculaire TT, sur If milieu de F9; cette perpendiculaire coupe le rayon F'ip en un point M du lieu, et elle est en oalre lu tangente en ce point.
PROBLEME
1189. Mener une tangente à l'ellipse par un poinl donné.
1° Si le point donné M est sur la courbe, on le joint aux deux foyers {Jig. 5i8], et l'on mène la bissectrice de l'angle FMI formé par l'un des rajons vecteurs MF et le prolongement Ml de l'autre rayon MF' (080).
a' Si le point donné P est extérieur à l'ellipse {Jig. 5i0on remarque que la question serait rrsolue, si l'on connaissjil le sjinélri(]»c 9 de l'un des foyers F par rapport à la tan-
3oo
GÊOHfiTRIB DANS L'esI'ACB.
gente cherchée; car on aurait des lors cette tangente en abaissant de P une perpendiculaire TT, sur F<p : la droite Tl'. couperait d'ailleurs F'9 au point de contact M (988). Or, le point. 9 se trouve à la fois sur le cercle directeur relatif au foyer F' (984) et sur le cercle de centre P et de rayon PF.
Pour que ces deux cercles se coupent, c'est-à-dire pour que le triangle F'Pcp existe, il faut et il suffit que chacun des cùiés PF', Pcp = PF, F<p == 2a, soit moindre que la somme des deux autres; de là les inégalités
PF<2a+PF, PF<2a4-PF', 2a<PF-+-PF.
Les deux premières sont satisfaites d'elles-mêmes, puisque d est plus grand que c et que le triangle PFF' donne
PF'< 2c -4- PF, PF < 26- -i- PF ;
Il ne reste donc que la troisième condition, qui (979) exprime que le point P doit être extérieur à Tellipse.
Fi(j. 52 f.
FÎT. 5a a.
Comme les circonférences tracées se coupent en deux points ? et (jp,, il y a deux solutions qui se réduisent à une seule lorsqu'on a PF 4- PF' — 2a, c'est-à-dire lorsque le point P est sur la courbe.
Corollaires.
990. Cherchons la condition pour que les deux tangcntoi menées du point P à l'ellipse soient à angle droit*
