I.IVDE Tlll. — LES COURBRS USUELLSS. 3oi

Si les deux tangentes TT,, T'T*, , menées du point P, sont à angle droit [Jig- Sx?), comme elles sont respectivement perpendiculaires sur le milieu des droites Fep, Ftpi, l'angle fF^. de ces deux droites doit être lui-même un angle droit. Cet angle étant inscrit dans la circonfcrence PF dont le centre est P, la droite 771 est un diamètre de cette circonrérence, et P est le milieu de ce diamètre.

Le lieu du point P est donc le lieu décrit par le milieu de la corde interceptée dans le cercle directeur relatif au foyer F', pnr un angle droit tournant autour de son sommet fixe F. Or, si l'on joinl le point P aux foyers F et F', on a P9 = PF, et le triangle rectangle F'P^ donne alors

PI'' -f Fç' = PF'' ^- pT' = F>' = 4fl'.

La somme des carrés des distances du point P aux points F cl F' étant constante, le lieu des sommels P des angles droits cinonscrils A l'ellipse est une circonférence concentrique à celle courbe [23-2]. Le rayon de ce cercle est d'ailleurs égal à yd'H- b', puisque les sommets du rectangle construit sur les axes appartiennent évidemment au lieu.

991. Les tangentes PM, PM', menées à l'ellipse par un point extérieur V,font des angles égaux avec les droites qui vont du point P aux deux foyers; la droite qui va du point P à l'un des foyers est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact H et M- {Jg. 5ii3).

Menons les deux cercles direcieurs de l'ellipse. <p étant le symétrique de F par rapport à la tangente PM et <p' le symc^

3o2 GftUSIÊTRIE BANS L* ESPACE.

irique de F' par rapport à la tangente PM', les deux triangles PFcp' ei PF'(p sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Les angles FP(p' et F'Pç sont donc égaux. Si Ton enlève la partie commune FPF', les restes FPç, F'P: . sont égaux, ainsi que leurs moitiés MPF, M'PF.

En second lieu, l'égalité des triangles PF9', PF'9, entratnr celle des angles PFcp', P9F'. Mais les deux triangles PM^» PMF étant égaux, Tangle PcpF' est aussi égal à l'angle PFM, et la droite PF est la bissectrice de Tangle MFM'.

PROBLÈME

992. Mener à V ellipse une tangente parallèle à une droite don net'.

Tout revient encore à trouver le point symétrique 9 de Tun des foyers F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point est à rinierseclion du cercle directeur relatif au foyer F' (984. et de la perpendiculaire menée du foyer F sur la droite donnée DD' [fig, 524). Cette perpendiculaire coupe toujours 1»^

Fig. 524. Fig. 5a5,

cercle F' en deux points 9 et 91, puisque le point F est intérieur à ce cercle. Les perpendiculaires TT, et T'T{ élevées aux droites F(p et F(p, par leurs milieux sont les tangentes demandées, et leurs points de contact M et M' sont à leurs rencontres respectives avec les rayons F'9 et F'9, (98S).

tlTBK Tlll. — lEB COGRBFS USITFU.nS. 3u3

CoaûLLAincs.

903. Let deux points de contact M et M' des deux tangentes parallèles TT,, T'T, sont symétriques par rapport au centre 0 de l'ellipse.

En efîel, les triangles FMip, FM' 9., œF'ip, sonl des irianglei^ isocèles ayant tous un angle égal à la base; ils sont donc semblables el ont leurs côtés parallèles. La figure MFM'F' étant un parallélogramme, ta diagonale MM' passe par le milieu 0 deladiagonaleFF'ely est divisée en deux parties égales.

inversemeni, les tangentes menées à l'ellipse en deux points symétriques par rapport au centre sont parallèles. Car le quadrilatère MFM'F" étant dans ce cas un parallélogramme, puisque ses diagonales se coupent en parties égales, les angles FM<j), FM'f , ont leurs cdiés parallèles et sont égaux. II en est donc de même de leurs moitiés [980] FMT, ^.M'T', ce qui entraîne le parallélisme des tangentes MT, M'T', au\ points M el M' .

O'J!*. La propriété précédente appartient d'ailleurs à toutes les courbes à centre. Dans toute courbe à centre, les tangentes en deux points M et M' symétriques par rapport an rentre 0 sonl parallèleset, par suite, équidislantes dit centre.

En efTet, si N [Jig. SsS} est un point de la courbe voisin (le M, et N' son symétrique par rapport •■ O, l'égalité des iriangles MON, M'ON', prouve le parallélisme des cordes ou sécantes MN, M'N', et leur égale dislance au centre. Quand N Icnd vers M, N' tend vers M'. Les deux sécantes tournent donc à la fois aulour des points M el M', de manière à devenir ensemble tangenles, en restant toujours parallèles el équidistnntes du centre.

995. Les points K et K' {Jig. 5a4 } apparliennenl au cercle principal de l'ellipse (985). Les deux segments FK, FK', étant alors ceux d'une corde quelconque de ce cercle passant par le foyer F, leur produit est constant. On peut donc dire que le produit lies distances d'un foyer à deux tangentes parallèles tsl constant. Si l'on mène par le foyer F' la corde LL' du cercle principal qui est parallèle à KK', on a évidemment FK' — F'L. On peut donc dire aussi que le produit des distances des deux

3od

tiÊOMÉTRlB DÀ^S L'ESPACE.

foyers à une même tangente est constant. Si l'on veut connaître celle conslanle, il suffil de considérer la tangente à Tuno des extrémités du pelil axe, et Ton obtient immédiatement lo carré du demi-petit axe 6* pour sa valeur.

Sgulik.

996. Les constructions des n~ 989 et 992 n'exigent pas que la courbe soit tracée.

PROBLÈME

997. Étant donnés les foyers F et F' et le grand axe A A' dune ellipse^ déterminer ses points de rencontre avec une droite DD' {Jig. SiG).

Fig. 526.

tk' P

Supposons le problème résolu, et déterminons le symitrique 9 du foyer F par rapport à DD'. M élanl l'un des poinl-de rencontre de la droite Ï^W avec l'ellipse, on aura M 9 m MF. Prolongeons F'M d'une longueur MG=:MF; F'G sera égil à AA', et le point G appartiendra au cercle directeur relatif au foyer F'. Le cercle décrit du point M comme centre avec MF pour rayon passe donc par les deux points F et 9 et est tangent au cercle directeur F'G. La question est ainsi ramenée» trouver le centre M d'un cercle passant par deux points donnés F et 9 et tangent à un cercle donné F'G. Nous avons n*solu ce problème (262, 2*»).

Comme le foyer F est intérieur au cercle directeur relatif au foyer F', il y aura évidemment deux solutions, une se«l»' ou zéro, suivant que le point 9 sera lui-même intérieur, com mun ou extérieur au cercle directeur F'G. La droite DD' cou-

LITBE Vin. — IE9 COOnOES USliELLES. adJ

pera donc l'ellipse en deux points, lui sera tangente ou extérieure, suivant les mêmes conditions ('J.

CoBOLLlIIE.

998. Vne droite ne pouvant rencontrer une ellipse en plus de deux points, l'ellipse est une courbe convexe (982).