S 11. — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE LHYBERBOLE

999. Vaiiyberhole est une courbe plane telle, que la dilTôrence des distances de chacun de ses points à deux points fixes de son plunesi égaleà une longueur constante. Ainsi (^;^.5i;j,lesdeux points fixes étant Fet F' et la longueur donnée étant représentée par la droite AA', on aura pour tout point M de l'hyperbole

MF — MF'=±\A', suivant que le point considéré sera plus éloigné du point F ou du point F'.

D'après cela, pour décrire un arc d'iiyperbole d'un mouve- Hq. J17.

ment continu, on prend une règle F'K dont on fixe l'une des exlrémilés au point F' IJ!g. Si^), de manière qu'elle puisse sfîulemenl tourner autour de ce point. Un fil dont la longueur fsi moindre que celle de la règle de la constante AA' est fixé

(* J Quand lu droite DD' ut tangenl«, f bil en G; en d'tinlrei termei. ti esl iiun te ■ytnillrlque de F par ripporl o DD'; donc DD' e>t la biiieclrke de l'angle GMF, ce q<il fournit une leconile d cm outt ration delà propriété Tondimentala de lu tangente, Mulireitadcmnnalndon a, cammo beaucoup d'jutrei pi us ou rooini inj-enicum, \e ton <i'tlre parli'culi^re ; celle que nous «Tuni donné» au a' 980 ett bien préférable, car elle «onilile dam t'appllcalion b l'ellipie de la mixhodv iffnéraU pour la détermina lion deitiingenle*daDsle>T*tème bipolair*. H. «1 H C. — Tr. Je Géom. ( If Partie). ao

3o6 GÉOUfiTRlE DANS L'ESPÀGE.

par l'une des ses exiréniiiés au poini Fet, par Fautre, au point R. Si Ton tend alors constamment ce fil le long de la règle à Taide d'un crayon, en faisant tourner la règle autour de F', la pointe du crayon trace un arc de l'hyperbole demandée ; car, pour une position quelconque M de celte pointe, on a (dans le cas de la figure)

MF- MF r= [MF + MK) - MF-h MK) = AA .

En prenant pour centre de rotation de la règle le point F, et en attachant la seconde extrémité du fil au point F', on obtient la seconde partie de la courbe. Quand la règle est au-dessus de FF', le fil doit être tendu contre son arête inférieure; c'est l'inverse quand la règle est au-dessous de FF',

On voit que fhyperbole est formée de deux parties qui ne peuvent avoir aucun point commun, puisqu'on a toujours, pour la partie de droite de la figure, MF' > MF, et pour celle de gauche, MF>MF'. Chaque partie, c'est-à-dire chacune des deux i/tuic/ies, s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de la droite FF' ; rien ne limite en effet l'éloignement des points obtenus sur la courbe, que la longueur même de la règle et du fil employés.

1000. Les points F et F' sont les foyers de Thyperbole, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La longueur AA' estordinairementreprésentéeparaa. La distance FF sev\o\nv[ie distance focale eion la représente par ac. L'existence du triangle MFF' entratne la condition 2c> 2/1 ou c>> /i.

Le rapport - est V excentricité de l'hyperbole. Cette excentricité peut varier de 1 à oo . Pour c = ay elle est égale à t, et l'hyperbole se réduit aux deux portions de la droite FF' qui sont séparées par la distance FF'; pour a = o, elle est infinie* et l'hyperbole se réduit à la perpendiculaire élevée sur le milieu de FF'. Entre ces deux limites, l'hyperbole se rapproche d'autant plus de la droite FF' que l'excentricité est plus petite.

1001. On peut aussi tracer l'hyperbole par points {Jig, SaS). En effet, marquons le milieu 0 de la distance focale FF' et, de part et d'autre du point 0, prenons OA = OA' = <i, pois an point K quelconque sur le prolongement de OA* Si des

LIVBB TllI. — LES COtIBBSS tlSUELLES. 307

points F et F' comme centre, avec des rayons respectivemeni égaux à AK et à A'K, nous décrivons ries arcs de cercle, leurs

Fie. SiS.

iJr

-ïir

points d'intersection M el M' appartiendront à l'hyperbole, car on aura

MF'-MF=M'F'-M'F = A'K — AK = 2(i',

La distance des centres FF' étant toujours plus grande que la différence ia des rayons, il suffit, pour l'intersection des deux circonrérences, que cette distance soil moindre que la somme des rayons, c'est-à-dire qu'on ait

FF'<AK + A'K ou ac<2AK-+-aa.

Ut condition cherchée est donc

AK>f-a ou AK>AF.

Comme on peut échanger les centres sans modifler les rayons, chaque point K permet d'obtenir quatre points M et M', N ei N' de l'hyperbole. Le point K doit seulement être au delà du point F, sans que rien limite sa position à droite de ce point. Ce que nous venons de dire résulte d'ailleurs de la symétrie de l'équation de condition MF' — MF =± 3a, par rapport aux deux rayons vecteurs.

Si le point K est en F, les points correspondants de l'hyperbole ïiont les points A ci A'. Le rayon vecteur minimum est c — a; il n'y a pas de rayon vecteur maximum, puisque les rayons vecteurs d'un point de la courbe peuvent croître jusqu'à l'infini.

3o8 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE.

THÉORÈME

1002. L'hyperbole a : \^ pour axes, la droite AA' qui passe par ses deux foyers, et la droite BB' perpendiculaire au milieu de la première; 2® pour centre, r intersection 0 de ces deujr droites {Jig- 528).

Môme démonstration que pour Tellipse (975), en considérant la différence des rayons vecteurs au lieu de leur somme.

1003. Des deux axes AA' et BB', le premier seul rencontre la courbe. L'axe AA' est dit Taxe transverse de Thv'P^ï'bole, Taxe BB' est dit son axe non transverse. Les extrémités A et A' de Taxe transverse sont les sommets de la courbe.

Un point du plan est dit extérieur à Tliyperbole lorsqu'il Cî^t situé entre les deux branches (F) et (F'); il est dit intérieur s'il est placé soit à gauche de la branche (F')» soit à droite dr la branche (F).

THÉORÈME

100^. Suivant qu* un point est intérieur ou extérieur à Vhy^ pcrbole^ la différence de ses distances aux deux foyers est .plus grande ou plus petite que ia {fig. 529).

Fig. oag.

Soit N un point intérieur et supposons, pour fixer les idée?, qu'il soit à droite de la branche (F); NF' coupera cette branchi' en un point M, et on aura

NF<MN4-MF, d'où NF- NF> NF'- MN ~ MF.

LtVBB Ttll. — LES COCBBES DStBLLBS. 309

c'esi-à-dire

NF' — NF>MF'-MF ou aa.

Soil N' un point extérieur; N'F coupera la branche (F) en un point M, et on aura N'F' — MN' < MF', d'où N'F' - MN' — MF < MF' - MF,

c'est-à-dire

GOSOLLAIRB.

1005. Ce théorème, rapproché de la délinition de la courbe, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque de son plan par rapport à l'hyperbole supposée non tracée. Suivant que la différence des distances du point considéré aux deux foyers est inférieure, égale ou supérieure à a a, ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur.

THËORËUE.

1006. La tanf;ente à Chyperbole est la bissectrice de l'angle formé parles rayons vecteurs du point de Contact{fig. 53n, 53 1 }.

Même démonstration que pour l'ellipse {980), en remarquant que dans l'ellipse les rayons vecteurs d'un même point varient en sens contraires, tandis que dans l'hyperbole ils varient dans le même sens.

1007. RÉCIPBOQUEUENT, ta courbe dont la tangente fuit aet angle» ègauT, ultérieurement ou iiitéricuremcnl, aoecles rayons vecteurs menés ria pnint de contact à deiu: points fixes, est une ellipse nu une hyperbole dont ces points fixes loai les foyers.

Bd effet, ai l'on abaisse d'un point G de la tangeole MT [/];, 53o) des Pii;. S3o.

perpendiciil aires Gll et GI tur learayoDi vecteurs du point M, les Irlanglsf rectanylos ainsi lormés seront ^gaux, puisque la tangente est, par hypo- IbÈse, la bissectrice de l'angle HMI; on aura donc Mil = Ml.

3io

GÉOHfiTBlB DANS l'eSPACE.

Considérons maintenant la sécante MM S (Jig. 53 1) qui coupe la courbe en M et en M', et portons les rayons vecteurs du point M' sur ceux du point M en FG et en F'D. Si l'on mène alors d'un point G quelconque de

Fig. 35 I.

la sécante les parallèles GH et GI à M'G et à M'D, les quadrilatères M'CMD, GllMI, seront semblables, et Ton aura constamment

MC MH MD ~ Ml *

Mais à la limite, quand le point M' vient en M, la sécante MM'S est remplacée par la tangente MT, et l'on a MH = MI. Donc la limite du rap*

port rrrr^ cst aussl l'unité.

Cela posé, soient P et Q deux points quelconques de la courbe, ma» tels qu'en allant de P en Q le rayon vecteur relatif au foyer F aille toujours en croissant ; alors le rayon vecteur relatif au foyer F' ira toujours en décroissant ou toujours en croissant. Concevons l'arc PQ divisé en n parties telles, que, lorsque n croit indéfiniment, chacune des parties tende vers zéro; désignons par « et p les rayons vecteurs de P, par u'eip ceux de Q, et par («i, ci), (w», p,), . . ., (tt/,i, Pn-i)» ceux des points intermédiaires.

Si les rayons vecteurs p, Pi, . .

croissant, les rapports

frt-i, f', relatifs au foyer F', vont en

U\ — U //j — Wi

ffn-i

auront tous l'unité pour limite, lorsque n croîtra indéfiniment; et comme le rapport

obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs, a une valeur comprise entre celles des premiers, il faut qu'on ail

= I , d'où u' — v' = u — V.