LIVRE VIII. - LES COLRBES USUELLES. lit

La courbe e^l dune une hyperbole, puisque la différence des rayons vec' leurs reste constante.

Si les rayons vecteurs 4', ",, ...,«„,, i^ relatifs au foyer F' vont en di-croissanl, le raisonnement subsiste, à la conditîOD de changer les sis'ica des dënomiDa leurs; on arrive ainsi à

iM courbe est donc une ellipse, puisque la somme dos rayons veelcurs resie constante.

Enfin, si l'arc PQ était trop élendu pour que les rayons vocteuri roiatifs au foyer F varient toujours dans le même sons, on décomposerait cet arc en plusieurs parties satisfaisant ù la condition, et la somme [ou la dif' férence) des rayons vecteurs restant constante dans chaque partie serai! la même à l'origine P et à l'extréniitâ Q.

COROLLAIRIIS.

1008. i" La droite F'<f tjui joint un foyer V de l'/iypei'ùole. au symétrique 9 de l'autre joyer F par rnpporl à une tangente quelconque TY, passe par le point de contact de cette tangente et est égale à la longueur ia de l'axe tiansverst {fg. 53a).

a" Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont extérieursà t hyperbole, qui est, par suite, une courbe convexe

Mêmes démonstrations que pour l'ellipse (931, 982), en remplaçant la somme des rayons vecteurs par leur différence.

1009. Si l'on mène au point M {fg. 53a] une perpendiculaire MN à la tanKentc MT, les angles FMN. LMN sont égaux

GÉOMÉTRIE DÀKS L ESPaCB.

comme compléments d'angles égaux. Donc, la normale à thy-perbole est la bissectrice de V angle formé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l 'autre rayon,

La normale en un sommet de Thyperbole se confond avec Taxe transverse, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers ou sont homofocales, elles se coupent à angle droit; car, en l'un quelconque des points d'intersection, la tangente de Tune est la normale de l'autre (980, 983).

Dans le cas de l'hyperbole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l'un des foyers F, s'éloignent de plus en plus de l'autre foyer F' après leur réflexion sur la courbe; mais toutes leurs directions prolongées viennent y converger.

THÉORÈME

1010. Le lieu des points symétriques <p de l'un des foyers F par rapport aux tangentes est un cercle (directeur) décrit Je l'autre foyer F' comme centre avec la longueur 2a de l'axe transOerse pour rayon [fg. 53^) [984].

THÉORÈME

1011. Le lieu des projections des foyers d'une hyperbole sur

Fig. 533.

ses tangentes est la circonférence décrite sur l'axe transversB comme diamètre [fi g* 532).

LtVB£ VIII. — LES COUSBBS USUELLES. 3[3

On donne à celle cïrconrérence le nom de cercle principal. Même démonslratîon que pour l'ellipse (983).

THÉORÈME

tOI2. Le. lieu des points équidistanlt d'un cercle de centre

V et d'un point extérieur F est une hyperbole dont les points

V et F' sont les foyers, et dont l'axe transverse est égal au rayon du cercle [fig- 533).

La tangente en un point quelconque M du lieu est la perpendiculaire sur le milieu K de la droite qui joint le point F A l'extrémité du rayon F'qi passant par M.

Comme pour l'ellipse (987],

Corollaire.

1013. De là, pour l'hyperbole, un nouveau iracé donnant à la rois le point el la tangente.

Décrives le cercle directeur relatif à l'un des foyers F'.c'eslâ-dîre le cercle dont le centre est F' et dont le rayon est égal à 3a; joignes l'autre foyer F à un point quelconque ç de ce cercle, et menés la perpendiculaire KT sur le milieu de Ff; cette perpendiculaire rencontre le rayon F'cp en un point M de l'hyperbole et elle est en outre ta tangente en ce point.

Il suit de cette construction que, sur toute droite indéfliiie GG' passant par F', il y a deu\ points de l'hyperbole et seulement deux; ils oorrespondent aux deux points 7 el <f' où le diamètre fiG* coupe le cercle directeur.

SCOLII!.

101^. Une droite OY est dite asymptote d'une branche inllnie de courbe AL, si la dislance MP d'un point quelconque M de la courbe à la droite tend vers zéro quand le point M s'éloigne indéfiniment en restant sur la courbe.

THÉORÈME

1015. L'hyperbole a pour asymptotes les perpendiculaires

<):r et Oy abaissées du centre 0 sur les tangentes FH', FH,

menées par l'un des foyers F au cercle directeur relatif à

t'outre foyer F' {fig. 533).

3l4 GÊOHÉfRIE DANS L'eSPÂCB.

En effet, remarquons d'abord que tout point de chacune des droites xx' et yY est extérieur à la courbe, car, soîi D, par exemple, un point quelconque de jj'; celte droite, étant parallèle à F' H et passant par le milieu de FF', passe par le milieu de FH; on a donc DF = DH, et, par suite,

DF-DF=:=DF-DH<FH ou ^a.

En second lieu, il est facile de voir que, P désignant le point commun à GG' et HF, le point E oii GG' rencontre la perpendiculaire élevée sur le milieu I de PF est intérieur à la courbe.

Car on a

EF— EF = EF - EP = FP > aa.

On conclut de là, en désignant par D' et D les points où GG' coupe xx^ et jy, que les deux points (1013) M' et M, où GG' rencontre l'hyperbole, sont situés, l'un entre F' et D', l'autre entre D et E; car, en allant de F' en D', on passe de riniërieur à l'extérieur, et en allant de D en £, on passe de l'extérieur à l'intérieur.

Cela posé, considérons, par exemple, le point M correspondant au point 9 du cercle directeur : pour que ce point s'éloigne indéfîniment sur la courbe, il faut et il suffit que les deux droites F'(p et KT, dont il est l'intersection, deviennent parallèles ; et, comme la seconde est sans cesse perpendiculaire à Fcp, il faut et il suffit que F 9 devienne perpendiculaire à P9, c'est-à-dire devienne la tangente FH au cercle directeur. Mais lorsque 9 tend vers H, PH tend vers zéro, et, comme on a

jPH = iFH - jFP = FC ~ FI = IC,

-IC tend aussi vers zéro; or, d'après l'alinéa précédent, le point M est situé entre D et E; sa distance MQ à 0/ est donc moindre que IC; donc MQ a pour limite zéro, et par suite 0^* est asymptote (').

SCOLIBS.

1016. Il importe de remarquer que l'asymploti' Or est fa

(*) CeUe ingénieuse démonstration nous a été communiquée (Uir Si. Lengllcr, proviseur au lycée Giiarlemagne.

limite vers laquelle tend la tangente KT au point M, quand M s'éloigne indéfiniment sur la courbe; car la tangente KM, étant sans cesse perpendiculaire sur le milieu de F 9, devient à la limite la perpendiculaire élevée sur le milieu de FH.

1017. La droite OK/ étant, parallèle à F'H et égale à sa moitié fl, on voit que le cercle principal AA' [fig. 534) louche au point K la tangente FH au cercle directeur.

Fig. 534-

Fig. 535.

Menons [fig, 535) A y perpendiculaire à FF' jusqu'à sa rencontre avec l'asymptote 0^-; puisqu'on aOK = rt = OA, les triangles rectangles OAy, OKF sont égaux, et Ton en conclut Oy = OF = c.

Achevons le rectangle yy^Si\ et soient B et B' les points où Taxe non transverse rencontre yS et y'd' ; par analogie avec Tellipse, on donne à la longueur BB' le nom de longueur de l'axe non transverse de l' hyperbole, et on la représente par a 6.

Les trois longueurs a^ b, c sont liées entre elles par la relation c'= aM- 6'. Elles sont lices dans Tellipse par la relation c' — fl' — 6% qui ne diffère de la précédente que par le changement de 6' en — i'. Par suite, les propriétés de l'ellipse et de l'hyperbole qui ne dépendent que des longueurs de leurs axes se déduisent les unes des autres par le simple change^ ment de 6' en — 6*.

3l6 GfiOHÊTRlB DANS L*BSPACB.

Lorsqu'on donne les longueurs des axes de Thyperbole, il est facile de déterminer graphiquement les foyers. On n*a qu*à élever à Textrémilé A de Taxe transverse une perpendiculaire Ay = 6 [fig. 535) et à décrire du point 0 comme centre, avec Oy pour rayon, une circonférence qui coupe Taxe iransverse aux deux foyers F et F'. On trouve en même temps l'asymptote 0 y et sa symétrique Oy'.

1018. On appelle hyperbole âquilatère une hyperbole dont les deux axes ont la même longueur. Le rectangle yy'ii' [fig' ^3^) devenant alors un carré, on voit que les aspnptotes d'une hyperbole équUatère sont à angle droit l'une sur l'autre.

1019. On entend par A r/>er6ofe5ro/i/i/g^a^c5 deux hyperboles qui, ayant les mêmes axes et, par suite, le même centre, la même distance focale et les mêmes asymptotes, sont situées par rapport à ces asymptotes dans des angles différents; c'està-dire que Taxe transverse de Tune est Taxe non transverse de l'autre, et réciproquement (fig* 535).

Deux hyperboles conjuguées ne sont identiques et ne peu> vent se substituer l'une à Tautre par un quart de révolution, que lorsqu'elles sont équilatères (1018).

PROBLÈME

1 020. Mener une tangente à l 'hyperbole par un point donné. Mêmes procédés que pour l'ellipse (989). Ici c'est la troisième

des inégalités dun'*989, 2<',qui est sa tisfaited'elle-même, puisque aest moindre que c, etqueletrîanglePFF'donneac<PF -h PF'; les deux premières expriment (1005) que le point P doit être extérieur à l'hyperbole.

Corollaires.

1021. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à l'hyperbole est une circonférence concentrique à la courbe et

ayant pour rayon si a" — 6* (990).

La démonstration directe est la même que pour Tellipse.

11?RB ¥111. — LBS COURBES USUELLES. SlJ

Seulement» la question revient ici à chercher le Heu des milieux des cordes interceptées dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit dont le sommet F lui est extérieur. Le problème peut alors être impossible, et le lieu cesser d'exi<ter, si Ton a « <C 6.

La tangente de Tangle aigu formé par Tasymptote O7 avec

Taxe transverse étant représentée par-i le problème est impossible quand cet angle est supérieur à ^5 degrés ou quand TanglejOâT des deux asymptotes [Jig, 535) est obtus: il est possible, au contraire, quand cet angle est aigu.

En effet, l'angle des deux asymptotes est précisément (1017) le supplément de celui des deux tangentes qu'on peut mener au cercle directeur F' par le foyer F. Or, ce n'est que lorsque l'angle de ces deux tangentes est obtus que les deux côtés de Tangle droit dont le sommet est en F peuvent rencontrer a la fois le cercle F'.

Lorsque l'angle des asymptotes est droit, celui des deux tangentes menées du foyer F au cercle directeur F' est aussi droit, et il n'y a pas d'autre angle droit circonscrit à l'hyperbole que celui de ses asymptotes. Ce résultat limite est d'ailleurs évident; car, la courbe étant alors équilatère (1018), on a a = b, ei le lieu se réduit au centre de l'hyperbole.

1022. Les tangentes PM, PM', menées à V hyperbole par un point extérieur V^font des angles égaux avec les droites qui vont du foyer P aux deux foyers; la droite qui va du point P à l'un des foyers est bissectrice de l'angle intérieur ou extérieur des rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M', suivant que les deux tangentes touchent l'hyperbole dans la même région ou dans deux régions diffé^ rentesm

Même démonstration que pour l'ellipse (991).

Les propositions dos n*^ 991 et 10Î2 conduisent à une démonstration très simple (Dardoux, Bulletin^ t. XIV] do la condition pour qu'un qua- <!rilatèrc, convexe ou non, soit circonscriplible à un cercle. Celle condition « d'abord mal énoncée par Pi tôt (Mémoires de rjcadémie, lyaS), puis rectiûéo par Steiner (Journal de Crclle, t. 32), consiste en ce qne ;

3l8 GÊOMÉTniB DANS l'eSPACB.

Dans tout quadrilatère circonscrit, Ui somme de deux côtés (opposés ou adjacents, suivant les cas) est égale à la somme des deux autres; et réciproqu ement .

La proposition directe est évidente; elle résulte immédiatement de Tégalité des deux tangentes menées à un cercle par un point extérieur. CeA la réciproque seule qui exige quelque attention pour être établie en toute généralité. ABCD étant le quadrilatère considéré, Thypothèse consistera dans l'une des égalités

AB-hBC = ADH-DC, AB — BC = AD~DC, AB--BC= DC — AD;

mais Tune quelconque de ces égalités exprime qu'il y a une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers les deux sommets opposés A et C et passant par B et D. Les tangentes en B et D à cette courbe se coupent eo un point P, et il résulte des théorèmes (991 et 1022) que par ce point P viennent passer une des bissectrices de l'angle A et une des bissectrices de l'angle C ; ce point P est donc équidistant des quatre côtés du quadrilalère, et, par suite, il est le centre d'un cercle inscrit à cette figure.

PROBLÈME

1023. Mener à l'hyperbole une tangente parallèle à une droite donnée [Jig, 536).

Fi|;. 536.

Même procédé que pour l'ellipse (992). Seulement, le problème n'est pas toujours possible. Il faut que» si Toa mène