LIVRE Vlll. — LES COURBES USUELLE

et M'; menons la sécante M^J'S, abaissons des deux points considérés les perpendiculaircsMç, M' 9', sur la direclriceDD', et traçons leurs rayons vecteurs. Portons sur FM une longueur FC= FM', et sur <p M une longueur (pE= 9' M'. D'après la définition de la parabole, MC est égal à ME.

Fig. 540.

Fie. Mi.

l)*un point G quelconque de la sécante MM'S, menons à M'C cl à M'E, jusqu'à la rencontre de FM et de <pM, les parallèles GI et GH. Les deux quadrilatères C.\r£M, IGUM sont semblables (208), et l'égalité de MC et de ME entraîne celle de Ml et de Mil.

A mesure que le point M' se rapproche du point M, GH reste, comme M'E, perpendiculaire à M<p, tandis que GI, perpendiculaire à la bissectrice de ran(;Ie au sommet du triangle isocèle M'FC, lend à le devenir au rayon vecteur FM. On a de plus constamment MI = MH . La tangenteà la parabole [fig, 54 1 ) tloit donc être telle, que si, d*un point quelconque G pris sur cette droite, on abaisse des perpendiculaires GI et GH sur le rayon vecteur du point de contact M et sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice, on aitMI^rrMH. Les triangles rectangles MGl, MGH sont donc égaux, ainsi que les angles GMl, GMH. Aa tangente à la paraholt* est donc bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice.

Mais, Tangie GMH étant Topposé par le sommet de l'angle

StC) gêom^ris oaks l'espagi.

T.MO, les deux angles GUI ou TMF ei T, MO soni égaux ; ce qui conduit à renoncé adopté.

1034. RficiPROQCJEMBNTy la courbe dont la tangente est bissec^ trice de V angle formé par les droites menées d'un point de la courbe à un point fixe, et perpendiculairement à une droite fixCf est une parabole ayant le point et la droite fixes pour foyer et pour directrice.

Démonstration analogue à celle donnée pour l'ellipse et rhyperbole (1007).

Corollaires.

1035. Soit S le point où la sécante MM'S ifig. 5{o) coupe la directrice Dh' . On a, à cause des parallèles,