LIVRB VIII. — LES COURBES USUELLES

de ce point sur la direclrice, T.H<T,9 ou T|H<T,F. Le point Ti est donc extérieur à la courbe (1032).

Fig. 5/|a.

Ty/

aI F \

1037. Si Ton mène au point M [fig, 54^) une perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, OMN sont égaux comme compléments d'angles égaux (1033). Donc, la normale à la parabole est bissectrice de V angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle menée à l'axe par ce point.

Au sommet de la parabole, la normale se confond avec Taxe, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

Soient T el N {Jtg. 5^2) les points où la tangente et la normale rencontrent l'axe. Les lrianglesTMF,NMF étant évidemment isocèles, on a MF= FT = FN. Le foyer F est donc à une distance, soit du pied de la tangente, soit du pied de la normale surtaxe, égale au rayon vecteur du point de contact,

1038. Dans le cas de la parabole, les rayons lumineux, sonores ou caloriflques, qui partent du foyer, deviennent tous parallèles à l'axe après leur réflexion sur la courbe. C'est pourquoi Ton emploie des réflecteurs paraboliques, lorsqu'on veut projeter au loin un faisceau de rayons lumineux parallèles (lanternes de voitures» phares). Réciproquement, tout rayon qui vient rencontrer la parabole parallèlement i son axe se réfléchit au foyer de la courbe. De là, par exemple, l'usage des réflecteurs paraboliques dans les télescopes, pour concentrer au foyer les rayons lumineux venant de l'astre observé.

3a8 GftOHiTniE uapcs l KsrACS.

TilËORÈME.

1039. Le lieu des points symétriques 9 du foyer F par rapport aux tangentes à la parabole est la directrice {Jig. 64a).

Celte proposiiion est évidente d'après ce qui a été dit ou n« 1030.

SCOLIRS.

1040. Étant donnés un point F et une droite I)D' {/ig. 54a)» si ton mène des droites F 9 aux différents points de la droite 1)D', les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs milieux enveloppent une parabole qui a pour foyer le point F et pour directrice la droite I)D'; les points de contact de ces tangentes sont à leurs rencontres avec les perpendiculaires menées à la directrice par les points 9.

C'est là un nouveau procédé pour décrire la parabole par points (1029). Bn le suivant, on n'obtient qu'un point à la fols; mais on a en môme temps la tangente en ce point.

lOVl. On voit que les parallèles à l'axe de la parabole ne rencontrent la courbe qu'en un seul point. Il serait donc faux de dire qu'une droite qui n'a qu'un point commun avec une courbe, môme convexe, lui est tangente. Une droite tangente à une courbe convexe n'a qu'un point commun avec elle (982) ; mais la réciproque n'est pas vraie.

THËORËMB.

1042. Le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet.

MT étant la tangente à la courbe au point M {fig. 5{3). etf le symétrique du Toyer F par rapport a cette, tangente, le point K où F9 coupe la tangente est le milieu do F 9. D'ailleurs, le sommet A est le milieu de FL. Donc, dans le triangle FL9, AK est parallèle à la directrice ou se confond avec la tangente au sommet (1037j. La proj(*ction K du foyer sur une tangente se trouve par suite sur la tangente au sommet.

Réciproquement, K étant un point de la tangente au som*

IJVnB VIII. — LES COURBES U9UELU8« 329

met) si l'on mène la droite FKf , le point 9 sera le symétrique du Toyor F par rapport h la langonie qui passe par le point K

Fig. 54.1.

Tî

(1040) ; le point K sera donc la projection du foyer F sur cette tangente.

CoROLLAiaK.

1043 Si Tun des c6tés dune équerre passe constamment par le foyer F, tandis que son sommet parcourt la tangente AK au sommet de la courbe, Tautre côté de Téquerre reste constamment tangent i la parabole.

THÉORÈME

1044. Dans toute couvbe rapportée àdesaxes rectangulaires, l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre la sous-tangente et la SOUS' normale.

Pour indiquer la position d'un point M sur un plan (.Aa'. •'> V'«). il suflll de donner ses projections P et Q sur deux axes rectan- (?ulaires x'Ox, r'Oy iracés dans ce plan, ou, ce qui revient au même, les nombres (positifs ou négatifs) qui mesurent les segments OP et OQ. On convitMit d'ailleurs de fixer le sens positif sur cliacun désaxes (le la manière suivante : après avoir choisi à volonté le sens positif sur Taxe .r'Ox, on place sur celle droite les lettres y et jt de fayon que le siMis positif que Ton a adopta soit celui de x' vers jr; puis, on place les lettres y et.r sur l'autre axe de telle sorle qu'une rotation de 9o^ autour de O, dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, amène la demi-droite Ovsur la demi-droite

GÉOMÉTRIE DANS L*KSPACB.

O^, et Ton adopte pour sens positif sur yOy le sens de y' vers y.

La valeur algébrique du segment OP, ou de son égal QM, reçoit le nom d^abscisse du point M, et Ton nomme ordonnée de ce même point la valeur algébrique du segment OQ ou de son égal PM. L'abscisse et l'ordonnée d*un point sont les coordonnées de ce point; les axes ct'O^t, y'Oy soni les ajces des coordonnées et 0 est Yorigine des coordonnées.

Quand un point appartient à une courbe donnée, son ordonnée y dépend de son abscisse Xy et elle est déterminée

FiR. 5',4.

JL'

par le choix de celte abscisse. Par exemple, Tabscissc j- et l'ordonnée y d'un point quelconque d'une circonférence de rayon R rapportée à deux axes rectangulaires passant par son centre {fg. 5^4) sont évidemment liées par la relation

j«H-.r* = R% d'où /* = R»~xV

Le choix des axes coordonnés est arbitraire. On adopte do préférence les droites les plus remarquables du plan relativement à la courbe, telles que ses axes, ses tangentes aux sommets, etc. Dans la parabole, on choisit Taxe et la tangente au sommet.

Cela posé, soit {fig. 545) une courbe C rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires xOx\ yOy*. Menons en un point quelconque M la tangente MT, la normale M\ cl

LIVBB Vin. — LBS COURBES USUELLES.

l'ordonnée MP. La projection TP sur TaxeOj: de la portion de tangente MT comprise entre son point de contact M et son pied T sur cet axe s'appelle sous-tangente ; de même, PN est la sous-normale. Le triangle TMN étant rectangle en M, eiMP étant perpendiculaire sur l'hypoténuse TN, le théorème énoncé est démontré (222).

Au lieu d'axes rectangulaires, on peut employer des axes obliques. Les coordonnées d'un point sont encore ses distances aux deux axes, mais comptées parallèlement à ces axes. Les projections ne sont plus alors orthogonales, mais obliques, et le théorème précédent cesse d'être vrai.

THÉORÈME

1045. Dans la parabole : i^ la sous- tangente est double de l'abscisse du point de contact; i^ la sous-normale est con^ stante et égale au paramètre [fig. 546).

i<^ Soit la tangente en M à la parabole. Si Ton prend pour axes coordonnés l'axe A^ de la courbe et la tangente au sommet A/, le point M aura MP pour ordonnée et AP pour abscisse. Le triangle TFM étant isocèle (1037), la projection K du foyer F sur la tangente MT est le milieu de MT. La tangente au sommet AK/ étant parallèle à l'ordonnée MP, le sommet A est donc le milieu de la sous-tangente TP, et TP = 2 AP.

Kig. .V|5.

Fig. 546.