MP BJ3 MP MO BO
Mm"" B6' FG" OF ^" B^'
qui sont fournies, la première par les triangles à côtés parallèles MP/?7, BOft, la deuxième par les triangles rectangles équiangles MOP, GOF.
On voit que le grand axe de l'ellipse obtenue est toujours égal au diamètre du cercle donné. On a, de plus, dans le triangle rectangle B60 (705),
06 = OBcosBO^, ou 6 = acosV,
en désignant par in et 7 b les axes A A' et bb* de l'ellipse, «H par V l'angle des plans des deux courbes.
COROILAIRBS.
1055. L'ordonnée MP du cercle ( fig, 549) étant représentée par Y et l'ordonnée correspondante m P de l'ellipse par v» 1© triangle rectangle MmP donne
vniYcosV, c'est-à-dire r=:-Y.
On passe donc du cercle principal d'une ellipse (9S5) à celte ellipse, en diminuant toutes les ordonnées du cercle dans le rapport du petit axe au grand axe. Cette remarque rournît un nouveau procédé pour décrire l'ellipse par points.
On trace un cercle sur chacun des axes de TelUpse comme diamètre [fig, 55o); un rayon quelconque coupe ces cercles aux points N et S. Si Ton mène alors Tordonnée NP du point N et la parallèle SM au grand axe, Tintersection M de ces deux droites est un point de Tellipse. On a» en effet,
MP = ,^-NP, c'est-à-dire MP^-NP.
OM a
1056. Si Ton considère sur Tellipse et sur le cercle 2^. deux points M et S ayant la même ordonnée OQ, leurs abscisses x et X sont liées par la relation
a: ON ., , -. A
Pour passer de Tellipse au cercle ayant le petit axe pour diamètre, il Taut donc diminuer les abscisses de Tellipse dans le rapport de 6 à a.
L'ellipse peut donc être regardée comme provenant de la contraction ou de la dilatation des cercles qui ont ses axes pour diamètres.
SCOLIB.
i057. On a démontré que le rayon vecteur F/ii (Jîg, 549] est égal à MG, c'est-à-dire à ^ — OG ; mais les triangles équiangles MOP, GOF, donnent
on a donc
OG OP „ . ^^ ex
C T ex
fm^a '- 01, par suite, F'/w = <7H
i058. Mener à Vcliipse une tangente par un point donné, I* Soit d'abord le point donné m situé sur la courbe. Supposons le problème résolu (fig, 55i ), et soit /wT la tangente de^ mandée. Dilatons toute la 6gure, perpendiculairement à AA', dans le rapport do OB à OA. L'ellipse deviendra le cercle AA', le point m deviendra le point M, le point T ne changera pas, et la droite MT sera la tangente au cercle principal. On déterminera donc réciproquement le point T en
n. «t Di c. — Tr, de Géom, (11* Partie). ^'S
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
construisant la tangente en M au cercle principal, et, en traçant /rT, od aura la tangente à Tellipse au point m,
Fig. 55o.
Fig. 55 1
2° Soit maintenant le point donné Yi extérieur à V ellipse {fig, 55a)- Supposons de môme le problème résolu (Jlg. 55a) et soient R/tiT, Rm'T' les tangentes qui répondent à ta question. Dilatons la figure,
Fig. 55a.
comme dans le premier cas. L'ellipse deviendra le cercle kk\ la droite RBK deviendra la droite B^R, et le point R^ correspondant au point R, devant se trouver à la fois sur Tordonnée PR et sur la droite B, K, sera déterminé. On en déduira les tangentes R,MT, R,M'T' au cercle principal et, par suite, les tangentes R/i/T, R/ti'T' k l'ellipse, dont les points de con* tact m et m' se trouveront d'ailleurs sur les ordonnées des points M et M'.
PROBLÈME
1059, Mener à l'ellipse une tangente parallèle à une droite donnée (fig. 553).
LIYIIB YlII. — LBS COURBES USUELLES. 339
Soit OD la droite donnée {fg, 553). En suivant toujours le mémo procédé, on considère la droite quelconque BK qui coupe OD au point N ; à
Fig. 553.
cette droite BR correspond la droite B.R qui rencontre en N^ Tordonnée du point N. La droite ON,D, est donc celle qui correspond à OD. On n'a alors qu'à mener au cercle principal les tangentes MT, M'T', parallèles à ON, D, et à tracer » par les points T et T', des parallèles à OD qui sont les tangentes demandées ; leurs points de contact m et m* appartiennent aux ordonnées des points M et M'.
1060. Les constructions précédentes (1058, i059) n'exigent pas que l'ellipse soit tracée : il suffit que ses axes soient donnés.
PROBLÈfifB.
1061. Connaissant les axes d'une ellipse, construire ses points d'inter^ section avec une droite donnée {Jig, 554 )•
Fig. 554.
Soit DD' la droite donnée ; son point L ne changera pas dans la dilatation d«rellipse. La droite quelconque BK rencontrant DD'au point C et dev^
34o GfiOMÉTRIB DANS l'bSPACR.
nanl B,K, le point C devienl C,. La droite LC^ correspond donc à la droite DD' et, comme elle coupe le cercle principal aux points M et M', on n*a plus qu*à ramener ces points sur DD', par des perpendiculaires à AA'» pour avoir en m et en m* les points demandés.
THÉORÈME
1062. Tous les diamètres de V ellipse sont des lignes droites passant par son centre.
On entend par diamètre d'une courbe le lieu des milieux des cordes de cette courbe parallèles à une direction donnée. Dans le cercle, tout dia* mètre est une droite perpendiculaire au système de cordes qu'ildiviseen deux parties égales (103) ou qui lui est conjugué.
Cela posé, tout système de cordes parallèles du cercle a pour projecticn un système de cordes parallèles de Tellipse, projection du cercle. Les mi* lieux des cordes du cercle étant sur un même diamètre, les projections d^ ces milieux ou les milieux des cordes correspondantes de l'ellipse sont sur une même droite, projection du diamètre du cercle, c'est-à*dire pas* sant par le centre de l'ellipse. Le théorème est donc démontré.
1063. RÉciPHOQUEMENT, toute droite passant par le centre de VelUpse est un diamètre de la courbe: car elle est la projection d*un certain dia* mètre du cercle dont l'ellipse est la projection. Les cordes conjuguées an diamètre de l'ellipse sont les projections des cordes conjuguées au dia» mètre correspondant du cercle.
COROLLAIBES.
1064. On nomme diamètres conjugués deux diamètres tels, que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à Tautre. Pour avoir deux diamètres conjugués dans l'ellipse, il suffit évidemment de projeter deux diamètres rectangulaires du cercle.
1065. La tangente à l'extrémité du diamètre du cercle, étant per* pendiculaire à ce diamètre, est parallèle au système de cordes qui loi est conjugué. Il en résulte que la tangente à l'extrémité d*un diamètre de VelUpse est parallèle au sjrstème de coi dis conjugué à ce dia^ mètre.
1066. Si l'on mène deux tangentes à un cercle par un point extérieur, le diamètre mené à leur point de concours est perpendiculaire sur le milieu de la corde qui joint leurs points de contact. Par suite, si l'on mène à une ellipse deux tangentes par un point extérieur, le diamètre mené à leur point de concours passe par le milieu de la corde qui unit leurs points de contact.
