NP = ÔN ^" MP=-.NP

Le point M décrit donc l'ellipse (10S5) dont le cercle ON est le cercle principal, et qui a pour demi-axes a et 6, c'est-a« dire les distances HA et MB.

Ce théorème donne un moyen pratique très-simple de construire une ellipse par points, à l'aide d'une bande de papier sur les bords de laquelle on marque les trois points A, B, M. II existe un compas elliptique fondé sur ce même principe.

COEOLLAIRBS.

1069. Considérons (Jig. 556] la droite donnée dans les deux positions voisines ABM, A'B'M'. Sur les milieux de AA' et de BB% élevons les perpendiculaires ao) et ^o) qui se coupent en &>. La perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' passera par le point &>. En effet, les deux triangles AoiB, A'cjB' étant égaux, les angles ABoi), A'B'ca sont égaux. Les angles û)BH, 6)B'M' le sont alors eux-mêmes comme suppléments d'angles égaux. Il en résulte l'égalité des triangles &) BM, ai B' M' et, par suite, celle des distances &}M, euM'.

Si l'on suppose maintenant que le point M' se rapproche In* définiment du point M considéré comme fixe sur l'ellipse qu'il décrit, MM' tendra vers la tangente à la courbe en H, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' vers la normale au même point. D'ailleurs, atù et (3oi) ont pour limites les perpendiculaires élevées en A et en B aux axes Oy et Ox. En joignant le point I d'intersection de ces perpendiculaires au point M [fîg. 555], on aura donc la normale en H à Telllpse tracée.

1070. 11 est utile de remarquer que la longneurMl compiée sur la normale en M (Jig. 555), esi égale à la longueur du demi-diamètre qui est conjugué au diamètre OM.

Soit, en effet (Jlg, 55;], OM' le diamètre conjugué au.dia* mètre OM; ce diamètre conjugué est parallèle à la tangeuto

rn M (1065), c'esl-à-dire que la normale MI lui est perpendiculaire. De plus, le rayon du cercle principal qui correspond à OM est parallèle à la position de la droite AB qui donne le point M de l'ellipse (1068), et le rayon de ce cercle qui correspond à OM' est de même parallèle à A'B'M'. Les diamètres conjugués de l'ellipse répondant à des diamètres rectangulaires du cercle principal (106^), on en conclut que ABM est perpendiculaire à A'B'M'. Comme BI, d'ailleurs, est perpendiculaire à OB', les deux triangles MBI, M'B'O, qui ont le côté MB égal au côté M'B', ont leurs angles égaux (77) et sont égaux ; par suite, MI = OM'.

PROBLÈME

1071. Étant donnés deux diamètres conjugués de l'eUipse en grandeur et en direction, construire les axes de la courbe.

Soient {fig. SSy) OM et OM' les demi-diamètres conjugués

Fîg. 557,

donnés, dont les longueurs sont af et ft'. En menant par le point M une perpendiculaire à OM' et en prenant sur cette perpendiculaire MI = 6', nous aurons le sommet I du rectangle inconnu lAOB (1070). Les sommets B et A de ce rectangle se trouvent à la fois sur le cercle circonscrit dont le diamètre est 10 et sur la droite qui unit le point M au centre K de ce cercle: Ils sont donc déterminés. En joignant ces points B et A au point O, on a les axes de l'ellipse en direction ; de plus, MA et MB représentent leurs demi-longueurs (1068, 1069).

GftOMfiTRIB DANS l'bSPACB.

THÉORÈME

1072, Quand les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites fixes quelconques Ox et Or> un point quelconque M, lié invariablement à AB dans le plan AOB, décrit une ellipse (fig, 558).

Considérons une position quelconque de la droite ABet faisons passer un cercle par les trois points A, B, 0. Si l'on suppose ce cercle lié à la droite AB et entraîné dans son mouvement» il passera toujours par le point 0; car l'angle AOB, ayant pour mesure la moitié de Tare invariable AB compris entre ses côtés, ne peut pas cesser d'être inscrit. Le diamètre OC de ce cercle, dans la position actuelle de la droite AB, s'obtient en élevant en B et en A, aux axes 0 x et 0/*, des perpendiculaires qui se coupent au point C.

Le cercle OC changeant de position en même temps que la droite AB, l'arc AD qui sépare le point A d'un point quelconque D de sa circonférence reste constant; par suite, l'angle AOD restant lui-même constant et ayant son c6té OA fixe, tout point D du cercle OC décrit une droite OY.

Si Ton trace le diamètre du cercle OC qui passe par le point

LIVnE VIII. — LBS COURBES DSCBLLBS. 345

donné M, les extrémiiésD etE de ce diamètre décrivent donc pendant le mouvement de A6 les deux droites fixes ODY et OEX. Ces droites étant à angle droit, il résulte du théorème précédent (1068) que le point M décrit une ellipse ayant pour demi-longueurs de ses axes, dirigés suivant OX et OY, les distances ME et MD.

Les perpendiculaires variables élevées en D et en E aux droites OY et OX se coupant au point mobile C, on obtiendra la normale en H à cette ellipse en menant la droite MC (1069).

SCOLII.

1073. La position du point C est indépendante de celle du point donné M. Donc, si le point M varie, toutes les normales aux points correspondants des différentes ellipses obtenues viendront, pour une même position de la droite AB, secouper au pointe.

D'ailleurs, le lieu du point C est la circonrérence décrite du point 0 comme centre avec la longueur constante OC pour rayon, et le cercle (i)C, variable de position, reste constamment langent au cercle OC dont le rayon est double du sien.

On peut donc se figurer le mouvement du triangle A6M, en le supposant entraîné dans le mouvement du cercle (ùC qui roule sans glisser àriniérieur ducerclefixeOCderayondouble.

On sait que, dansun pareil mouvement, /ou/ poi/i/^/u cercle mobile décrit un diamètre du cercle fixe (théorème de de la Hirc), résultat qui coïncide avec la remarque sur laquelle la démonstration précédente est fondée. De plus, d'aprèsce qu'on vient de voir, tout point M lié invariablement au cercle mo-bile^ et situé en dehors ou en dedans de ce cercle^ décrit une ellipse ;c'esi un autre énoncé de la proposition du n"* 1072.