DE L'ELLIPSE

THÉORÈME

1074. La limite d'une ellipse (ou d'une hyperbole) dont un sommet et le foyer voisin restent fixes, tandis que Cautre foyer s* en éloigne indéfiniment dans la direction du grand

660HfiTRIB DANS l'BSPACB.

axe [ou de taxe transverse), est une parabole quia pour sommet et pour foyer le sommet et le foyer fixes [fig. S5g).

FIg. 559.

En effet, le cercle directeur relatif au foyer mobile F' coupe toujours le grand axe à droite du foyer fixe F, en un même point L déterminé par la condition évidente AL = AF. A mesure que le centre F' de ce cercle s'éloigne dans la direction AA', son rayon croît indéfiniment, de sorte qu'il a pour limite la perpendiculaire DD' menée par le point L au grand axe AA'. D'ailleurs, tout point M de l'ellipse étant également distant du foyer F et du cercle directeur F' (987), on a constamment MF =MG, c'est-à-dire à la limite, quand l'ellipse se déformant le point M vient en M,, M|F = M|H, en désignant par Ml H la perpendiculaire abaissée du point M» sur la droite DD', limite du cercle F', Le lieu des positions limites des points de l'ellipse donnée est donc une parabole ayant pour foyer et pour sommet les points F et A et, par suite, la droite DD' pour directrice.

La même démonstration s'applique à l'hyperbole (1012)» Dans ce cas, la parabole est la limite de la demi-hyperbole de droite à laquelle appartiennent le sommet A et le foyer F; l'autre demi-hyperbole de gauche disparaît à l'infini.

COROLLÂIRB.

1075. Le théorème précédent permet de prévoir el de démontrer les propriétés de la parabole, en les déduisant par

voie de transformation des propriétés correspondantes de l*eiiipse.

Par exemple, pour démontrer que la tangente à la parabole fuit extérieurement des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point (1033), il suffit de remarquer que, lorsque l'un des foyers de l'ellipse s'éloigne à l'infini, le rayon vecteur relatif à ce foyer tend à devenir parallèle au grand axe.

De même, pour établir que le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet (1042), on n'a qu'à observer que le cercle principal de l'el* lipse tend vers la tangente au sommet fixe du grand axe, lorsque l'autre sommet se transporte à l'infini.

Si les propriétés considérées dépendent explicitemenx des axes a et 6 de l'ellipse et de sa distance focale c, on substitue à a eik b leurs valeurs en fonction de c et du paramètre ^ = a(a—c) de la parabole limite; puis, en supposant c infini dans les formules obtenues, on passe des propriétés de l'ellipse représentées par ces formules aux propriétés correspondantes de la parabole exprimées en fonction du paramètre p.

THÉORÈME

1076, 7bus tes diamètres de la parabole sont des droites parallèles à l'axe.

On démontre immédiatement cette proposition en regardant la parabole conme la limite d'une ellipse (1074) dont l'un des foyers et le sommet voisin coïncident avec le foyer et le sommet de la parabole, mais dont Tautre foyer et, par suite, le centre se transportent à TinQni sur le grand axe de la courbe.

Les propriétés de l'ellipse démontrées aux n""* 10G5 et 1066 appartiennent aussi à la parabole limite. Ces propriétés vont nous permettre d'établir la proposition suivante.

THÉORÈME

1077. La /?arabole étant rapportée au système d'axes obliques formé par un diamètre et la tangente à son extrémité, dans ce nouveau système d^axcs, la sous-4angcnte est encore double fie l'abscisse du point de con* toW(1045).

En eiïet, soient ijig. 5Co) la tangente Ay et le diamètre Ax pris pour

348 GÊOnÊTUIE DANS l' ESPACE.

axes coordonnés; menons la langente MT en un point quelconque M de la parabole. Si, par le point d'intersection G des tangentes A/ et HT, on

mène une parallèle à A:r, cette parallèle coupera la corde ÂM en son milieu (i066) : le point G est donc le milieu de TM. AGj^ étant parallèle à l'ordonnée MP, le point A est alors le milieu de la sous-tangente TP.

THÉORÈME

1078. Vaire d'un segment parabolique est les deux tiers du paraUélo* gramme qui a pour côtés la corde et la flèche du segment, cette flèciit étant mesurée sur le diamètre conjugué à la corde du segment»

Fig. 56i.

Soit [fg. 56i) le segment parabolique MAM, déterminé par U oarda

MMi. Prenons pour axes coordonnés le diamètre Xx conjugué à cette corde et la tangente parallèle A/. Évaluons d'abord Taire de la portion MAP.

Inscrivons dans Tare AM une ligne brisée MM' M'. . . A et, par les sommets de cette ligne brisée, menons à la courbe les tangentes MT, M'T',..., jusqu'à la rencontre du diamètre A^; menons aussi les or> données MP, M'F, . . . , des sonmiets de la ligne brisée.

Comparons le trapèze MM'P'P au triangle correspondant GTT'. Si Ton mène par le sommet G du triangle une parall^e GH à Ax, elle passera par le milieu I de la corde MM' (1076). La perpendiculaire abaissée du milieu du côté MM' sur le côté PP' du trapèze MMT'P est donc égale à la hauteur du triangle GTT'. Pour avoir le rapport de leurs aires, il suffit d'après cela de comparer le côté PP' du trapèze à la base TT' du triangle. Or (1077)

AT = AP et Ar = AP', d'où