TT' = PP
Le triangle est donc la moitié du trapèze. Et, comme on peut répéter le môme raisonnement pour chaque trapèze et pour le triangle correspondant, la somme des trapèzes reste toujours égale au double de la somme des triangles. La limite de la première somme étant Faire MAP et la limite do la seconde Taire MAT, Taire MAP est les deux tiers du triangle total MTP ou du parallélogramme équivalent APMQ.
L'aire Mt AP étant de même les deux tiers du parallélogramme APMi Qi, Taire cherchée MAMi est enfin les deux tiers du parallélogramme MQQi Mi, qui a pour côtés la corde MMi du segment ou le double de Tordonnée MP, et la flèche de ce segment ou Tabscisse AP.
§ VL — ORIGINE COMMUNE DES TROIS COURBES. SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION.
1079. Dans l'ellipse et dans l'hyperbole, à chaque foyer F correspond une droite D qu'on nomme directrice; c'est la perpendiculaire à Taxe focal élevée par le point E qu'on obtient en portant sur cet axe, à partir
du centre 0 et de 0 vers F, une longueur OE égale à — (fig» 56a).
Dans Tellipse, a étant plus grand que c, OE est plus grand que OF : le point E tombe donc sur le prolongement de OF. en d'autres termes le foyer est entre la directrice correspondante et le centre. Dans Thyperbole au contraire, a étant plus petit que c, OB est moindre que OF;
35o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE.
le point E lombe donc entre 0 et F, en d'autres termes la directrice passe entre le centre et ie foyer correspondant.
THÉORÈME
idSO, La directrice D relative à un foyer F e.ft : \^ La polaire P de ce foyer par rapport cui cercle principal; a* L'axe radical R de ce foyer et du cercle directeur relatif à Vautre foyer.
En effet :
i"* La polaire P est (341) perpendiculaire à OF et située par rap-
port au centre du même côté que le foyer F, à une distance égale à >-
puisque ie rayon a du cercle principal est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle F et à la polaire P.
a*" L'axe radical R (401, lo**) est perpendiculaire à FF', du môme côté que F par rapport au point 0 et à une distance de ce centre égale à
= — > puisque 2a est le rayon du cercle directeur (F*).
THÉORÈME
1081. Dans l'ellipse ou dans l'/iyperbole, le rapport des distances d'un point quelconque yi de la courbe à un foyer Y et à la directrice carres^
pondante D est constant et égal à l'excentricité- (fig. 56^).
En effet, soient P la projection du point M sur la directrice D, N le point
Fig. 56a.
où F'M prolongé rencontre le cercle directeur (F*), et I le point où la tangeaie en N à ce cercle rencontre D. D'après le théorème précédant.
