LIVRE Mil. — i.i^s COURBES USUELLES

on a IN = IF; d'ailleurs MN est égal à MF; les deux triangles MNI, MFl ont donc les trois côtés égaux ; par suite, Tangle MFI est droit comme l'angle MNI et le cercle décrit sur MI comme diamètre passe par F, N, P. 11 résulte de là que Tangle NPM est égal à NFM ou (puisque le triangle MNF est isocèle) à MNF.

D'ailleurs les angles NMP, NFF sont égaux comme correspondants. Les triangles NMP, F'NF sont donc équiangles, et Ton a la proportion

MN FP MF ac c

MP "" NF' °" MP ~" aa "" â*

qui exprime le théorème énoncé.

COROLLAIRB.

108^. Le lieu des points dont les dlstcmces à un point fixe et à une droite fixe ont un rapport constant X est une ellipse , une hyperbole ou une parabole suivant que le rapport X est inférieur, supérieur ou égal à l *u/t ité (fig. 562 ) .

Pour X = I , la proposition résulte de la déûnition même de la parabole.

Supposons X < I, et considérons Tellipse qui a pour foyer le point fixe F, pour directrice correspondante la droite fixe D et pour oxcenlricité lo rapport X. Cette ellipse est bien déterminée, car les relations

- = A, c = bhy

dont les seconds membres sont connus, assignent des valeurs uniques et finies aux éléments a et c. Or, d'après le théorème précédent, tout point de cette ellipse appartient au lieu, et il reste seulement à montrer que tout autre point M' du plan ne saurait faire partie du lieu. Or soient M le point où la demi-droite FM' rencontre l'ellipse, P et P' les projections de M et M' sur la directrice D, et Q et Q' les points où MP et M'P' coupent la parallèle à D menée par le foyer F. On aura

FM MO MP±FE FM' "^ My' "" M'P'±:Fii'

les signes se correspondant. Mais, d'après un théorème connu sur les

fractions dont ou augmente ou on diminue les termes d'une môme quan-

MP tité, le dernier rapport et, par suite, le premier, diffère de ^757 ; donc