IM FM IN ' FN

sont égaux entre eux comme étant égaux respectivement à -^r^ • Donc

la droite FI bissecte l'angle MFN ou son supplément, suivant que le

Fig. 563.

point I est situé entre M et N on sur le prolongement de MN. Or le premier cas ne peut se présenter que si la courbe est une hyperbole et si M et N appartiennent à des branches différentes.

CcaoLLAïass.

1084. Si d'un point queicmqtte I de la directrice D on mène des tan* gentes IT, IT' à une conique, la tiroite des contacts TV ptusepar le

foyer F correspondant et est perpendiculaire à la droite qui joint le point I au foyer.

En effet, supposons que dans le théorème précédent les points M et N viennent se confondre, auquel cas M et N appartiennent forcément à la même branche, la ligne FI sera la bissectrice de la limite du supplément de l'angle MFN, c'est-à-dire la perpendiculaire à la droite FT qui représente les deux rayons vecteurs confondus. On verrait de même que FT' est perpendiculaire à FI. Donc les trois points T, F, T sont sur une même perpendiculaire à FI.

1085. Le même théorème fournit une solution simple du problème qui consiste à construire une conique connaissant un foyer F et troùt points A, B, C.

Tout revient à trouver la directrice D relative au foyer F. Or on obtient deux points de cette droite en appliquant successivement la proposition (1083) aux deux cordes A6 et fiC.

On verra aisément qu'il y a quatre solutions et que, des quatre coniques obtenues, trois sont certainement des hyperboles; la quatrième est une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant la disposition des données.

THÉORÈME

1086. La section d'un cône circulaire droit par un plan est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

!• Supposons que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône sur une même nappe {fig* 564)*

Menons le plan méridien (869, 3°) du cône qui est perpendiculaire au plan sécant AMA'; il coupera le cône suivant les deux génératrices SA et SA' qui font entre elles V angle au sommet de la surface, et le plan sécant suivant la droite AA'. Dans le plan méridien considéré, construisons les circonférences 0 et 0' qui, situées de part et d'autre de AA', sont à la fois tangentes aux génératrices SA et SA' et à la droite AA' qu'elles touchent aux points F et F'. Si Ton fait tourner le plan méridien autour do l'axe SO, ces deux circonférences engendreront deux sphères tangentes à la surface conique suivant les parallèles (869, 3^) BC et B'C, et tangentes au plan sécant en F et en F'.

Cela posé, prenons un point M quelconque sur la courbe d'intersection ; menons les droites MF, MF' et la génératrice SM qui coupera en G et en G les parallèles BC, B'C. La droite MF étant tangente ù la sphère 0 (787), on a (788) MF = MG. On a do même, par rapport à la sphère 0', MF = xMG'.

R. et Di C. — Tr. de Géom, ( lî« Partie). a3

Par saite,

GÉOIÉTBU DAXS L*BSPACB.

MF -h MF = MG -r MG' = GG' = BB' = consL

D'ailleurs, en vertu des propriétés rappelées, on a

BB' = AB-!-AB' = AF-+-AF et BB' = CC' = CA'-^AX' = A F-r-A F.

II en résulte évidemment

AF = A'F et BB' = AA'.

La courbe obtenue est donc une ellipse ayant AA' pour grand axe et les points F et F pour foyers.

Fig. 564-

Si l'on trace A' H parallèle à BC, AH est la distance focale de cette ellipse. En effet,

Ar = AB' et HB' = A'C' = AF.

Les plans des parallèles BC, B'C\ prolongés jusqu'à la rencontre du plan sécant, le coupent suivant deux droites DE, D'E', perpendicolnf^ au plan m<!ridien considéré (561). Si Ton mène le paraUèle LL' de la surface qui passe par le point M, son intersection avec le plan eéeaol

LIVBB VIII. — LES COUiUS USDEtLES, 355

eBt de même dirigée suivant l'ordonnée MP de ce point par rapport au grand axe AA', et PD représente la disUDce du point M à la droite Sors^^ '"""^'"^ *'*''■ ^^^' ^^'"' é^i'Joinment aemblablea, donnent uMF

= irr-= consl.