LIVRE Vlir. — tE9 COURBES USUELLES. 3j

lioBS réelles avec des points réels ; ce sonl des relations contenant dune muniéro êymétriqgo les s^ments imaginaires conjugués OA el UB, de telle sorte que, tous calcula eiïectués, il ne reste plus dans les équations que les élémeais réels /> et y du couple (A, B) et les autres quanUtiSs r.'elles étrangères à ce couple. G»isidéroD3, par exemple, deux c«U|to de points [A, B), (C, D) situt^ssur la droite X'X C^. aco', ot dùllnis respecti veinent par les équations

x' — 2/)x + r/ = o, i* — a//x-)- ij' = o.

Supposons ([ue ces poinis «oient rétile et lurawDt une division liarmo». nique ; on aura alora la relation

, . CA DA

II) Cfl'iÏB""'

qut,.iprès qu'on y a remplacé les segments CA,CB, ... far leurs valeurs UA — OC, OD — OC, . . . , revient, tous calculs elTcctués, il la suivante :^

(a) ç->-q =^rp',

dans tiiqaelle les doux couples de points (A, B), (C, D), im figurent ph»^ que parleurs éléments |/>,i/), {/>','/')• ' '

Ci-la posé, suppntona que, le couple (A, B] restant réel, la quantité- /''' — g' devienne néi^^tive ; les points C et D ceaseront d' exister, et la iplalion ( I ) n'aura plus de sens explicite ; mais rien n'empËcliera de ta ron^rver corome maniL're symbolique d'écrire la relation [2) qui Eubsi,-to toujours, et è laquelle la relation ( 1 ) se réduit lorsqu'on elTectue les calculs d'après les règles do l'Al^jèlire. Ainsi, au lieu dédire que, lorsque P^~g' est négatir, il n'existe plus de couple do points divisant liarmun:qiietnent le segment AB, mais qu'il existe ecuicmcnt entre les (éléments P^Qil'' <l\ 'fl relation (a), on pourra dire que le couple [C, D) des points qui divisent harmoniqucmcnt li> srgmenl AB devient imaginaire, el employer la forme symbolique (i), qui Tait bien plus image que la relation (3) a laïudle elle revient au fond. Les avantages de celte nouvelle manière de voir sont connus du lecteur qui est dcjÀ versé dans l'Analyse algé> brique. En Oéométrie oommo en Algèbre, l'introduction des imaginaires permet de génénlieer lea énoncés, évite lee subdivisions, el leur emploi tnraitdre fournit dee démonslraltons rapides et élégantes.

ReiurquoiM en terminant que, si (comme nous lo supposons toujours) lea éléotnle p, '/, //, 7', sont réels, la relation (a) exige qu« l'une des deux quantités /j' — '/, /j" — r/, aoil |)0f itive ; car, si l'on avait Il la Tuis ■

374 GÉOMÊmtK DANS l'espace.

on aorait

ou, à cause de (2),

y/ -h //" — ipp < o, c*esl-à-dire [p—p )' < o,

ce qui est absurde. Ainsi, quand tleux couples (le points en ligne fir> ite forment une division harmonique, i'un des couples au moins est réel.

Rappelons enfin la significalion géométrique de rélément/? ; cet élément exprime la distance de l'origine 0 (Jig. aoo) au milieu I du segmenl AD, puisqu'on a