OA^OB)=:OI

Lorsque le couple (A, B) est imaginaire, les imaginaires disparaisscnl d-^ns la somme des deux quantités conjuguées OA et OB, de sorte que /f milieu I du segment compris entre deux points imaginaires conjugués A et B est toujours réel.

FAISCEAUX BOMOGAAPIIIQUES.

Ii08. On dit que deux faisceaux sont homographiqucs lorsqu'on poul irouver deux droites L et L'qui les coupent suivant deux divisions homographiques.ll est clair ({\x* alors toute section rectiligne L, du premier jaisccou sera fiomographique d'une section rectiligne quelconque L\ du stcond faisceau; cnr les divisions L et L,, étant en perspective, sont homographiqucs (1103) ; il en est de même de L' et de L',, et, comme L et L'soni homographiqucs par hypothèse et que deux divisions homoijra['biq>Jt'S d'une troisième sont homographiqucs entre elles (liOO), les deux divisions L| et L', sont homographiqucs.

Four que deux faisceaux soient homographiques , il faut et il sujfi^ que quatre droites quelconques du premier aient le même rapport anhnrmonique que les quatre droites homologues du second (^^Q ei ilOI, a*)-

Deux faisceaux homographiques sont déterminés par trois couples dt

rayons homologues (1100).

Quand deux faisceaux homographiqucs ont un rayon homologue cornmun, les autres rayons homologues se coupent deux à deux sur une h^t^f droite : c'est le théorème fondamental du n* 342 avec un autre énoncé.

1109. Deux faisceaux homographiques de même centre ont to»Jo^ deux rayons doubles (réels ou imaginaires) , c'esUà-dire deux n^^^ tels, que chacun d eux, considéré comme appartenant au premier faisctiQ»

LIVRB VIII. T- LES COUJtBia USUELLES. 3^5

coïncide avec son homologue dans le second faisceau. On obtient oes rayons en joignant le centre commun des deux faisceaux aux points doubles des deux divisions homographiqueSi déterminées par les deux faisceaux sur une transversale arbitraire.

Lorsquun angle tourne autour de son sommet S [fig* ^74)» ^^s deux

côtés engendrent deux faisceaux hnmographiques concentriques^ car, les angles du premier faisceau étant respectivement égaux à ceux du second, quatre droites quelconques du premier faisceau ont (321) le mÔme rapport anharmonique que les quatre homologues du second. Les rayons doubles de ces deux faisceaux sont évidemment imaginaires^ et il importe de remarquer que la position de ces rayons doubles imaginaires est indépendante de la grandeur de l'angle. En effet, soit L une transversale quelconque et TSI, O'SO, J'SJ, trois positions de l'angle donné relatives, la première au cas où le second côté est parallèle à L, la seconde au cas où le premier côlé est perpendiculaire à L, et la troisième au cas où le premier côté est parallèle à L. Tout revient à trouver les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques que les côtés de Tangle tracent sur L. Or 1 et J' sont les points limites de ces deux divisions, et 0, qui est évidemment leur milieu, est le milieu. des points doubles; ces points sont donc, de part et d'autre de 0, à une distance égale

y/OJ'.OO' = v/-OJ'.0'Ô.

Mais, puisque O'SO = J'SJ, l'angle O'SJ' est droit, ei Ton a

O'O.OJ' « SÔ' ;

donc, la distance du point 0 aux deux points doubles est égale à SOV"" *î d'où l'on voit qu'elle dépend de la distance de la transversale L au sommet S de l'angle, mais en aucune manière de la grandeur de cet angle.

Réciproquement, lorsque deux divisions homographiques de même base ont leurs fioints doubles imaginaires, on peut considérer ces deux dipisions comme tracées par un certain angle de grandeur constante tournant amour de son sommet, Br ef(et| 1 et J' étant les homok>gues de l'infini,

376 GÊonfiTIIIK 1>AXS L HSPACB,

0 Icup milieu el 0' son homologue, décrivons une drconférence sur O'J* comme diamètre, jusqu'à la rencontre S (ou S,) de la perpondiculcrre élevée (>ar 0 sur la base L. L'angle 0S0\ en tournant autour do point S, IraciTa sur L deux divisions homograpbiques donl(0, 0'), (I, oo ), ( qo , J') seront trois couples de points homologues; car, si l'on mèncTSJ parallèle à L, les angles OSJ, O'SJ', FSO, éUnt droits, les angles JSJ', O'SO, rSl, seront égaux. Donc ces deux divisions, ayant trois couples de points homologues communs avec les deux divisions proposées, ne difl'erent pas de celles-ci.

1?<TBRSECTI0N D^UNB DROITE ET d'UN CEnC|.B. — POLNTS CYCLIQUES

d'un plan.

1110. Il résulte du n° 32i que : i^ iorsqu^un point mobUc m décrit un cercle y les droites P//i, Vm^ qui J' lignent ce point à deux points fixes, P et P', pris à voUmté sur la circonférence y forment deux faisceaux ftomographiques ; a° lorsquime droite mobile enveloppe un cercle, elle trace sur deux tangentes fixes de ce cercle deux divisions /lomographiques.

Une droite quelconque L du plan d'un cercle C rencontre toujours la circonférence en deux points (réels ou imaginaires); car, les deux divisions homograpbiques tracées sur L par les rayons P//i, P'//j, des deui; faisceaux, ont toujours deux points doubles (réels ou imaginaires). Le lui lieu des deux points d'intersection est toujours réel: c'est la projection 0 du centre Çt du cercle sur la droite L; car, si Ton choisit pour les points V et P' (/g". 575) les extrémités du diamètre perpendiculaire à L, les deux points I et J', homologues de l'infini dans les deux divisions homograpbiques aê. . , , a'6'. .". , tracées sur L, coïncident avec 0, de sorte que 0 est le milieu des deux points doubles. Le carré de la distance îles deux imnts d* intersection au point 0 est égal à la puissance du point 0 por rapport au cercle, c/iangée de signe. Car, puisque I et J'sont confondus avec 0, le produit Oat.Oa' est constant (1103J, et le carré de la distance du point 0 aux deux points doubles est égal à cette constante^ or, si P et ^' sont les deux points homologues qui répondent au point /r, milieu da demi-cercle P/iiP\ 0^ et Of ' sont en valeur absolue égaux à OP et à OP', el la constante est égale à — OP'.OP.

ifii. Considérons un cercle C (fig. 57S) et la drofle à rinfinî nlaée dans son plan. P et P' étant deux points fixes pris i volonté sur la cir- ( onférence C, les rayons P m et ?'m tracent sur la droite de Tinfini, quand le pomtm décrit le eercle, deax divisions bomograflriques dont les pofvrti doubles imagiflaires appartienneot à la fois à la droite et au eercle. Orj