LIVRE VIII, — LBS.QOVJtBIi!» US^J^tl-KS

si cA est un point pris à volonté dans le plan du cercle, les parallèles à P/n cl P'/», menées par ce point, vont couper la droite de Tinfini aux mômes poînis a et a' que les rayons J^ni et P'w; d'ailleurs, Vangie «wa' de ces

Fig. 5;d.

parallèles est constant, puisque, en vertu de la propriété de l'angle inscrit, l'inclinaison mutuelle des droites Pm et V* m ne varie pas; donc, les points d'intersection du cercle et de la droite de Tinfinî sont les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques tracées sur cotte droite par un angle de grandeur constante tournant autour du point &>.

En faisant varier la position et la grandeur du cercle ainsi que la position des points P et P' sur le cercle, on ne fait que changer la grandeur de Tangle qui tourne autour du point fixe «>>, et, comme la situation des points doubles imaginaires est indépendante (1109] de la grandeur do l'angle, on arrive à cette conclusion : Tous les cercles situés dans un pirtn ont les deux mêmes points imaginaires communs avec la droite à Vlnjîni de ce plan. Nous donnerons à ces deux points, dont la considération est souvent utile, le nom de lioints cycliques du plan.

Deux cercles quelconques, C et C, admettent donc la droite de l'infini pour corde commune. Vaxe radical L des deux cercles est une seconde corde commune; en eflet, les points réels ou imaginaires où cet axe rencontre Tun quelconque des deux cercles sont de part et d^autre du pomt 0, à une dif^iance égale à la racine carrée de la puissance, prise en signe contraire, du point 0 par rapport au cercle considéré (1110}; et comme, i>i L est Taie radical, le point 0 a la mémo puissance par rapport aix deux cerclea, on voit que Taxe radical coupe cea cocclea aux deîu^ voAsùs» points*

Ainsi, dctus cercles quelconques ont totyours quatre points dUntersec-* tion ait liés dettsc à deux âurdeux cordes eommunes réelles, qui sont fajfe

base, il suffit d'exprimer dans la relalion (1101)

ani . a/?ï — X . am — jx . arfi' -p- v — o

que les points I et J' coïncident, c esl-à-dire, puisque ( 1101 ) À = a]' et 11 = ul^ que X = iji. L'équation d'involution est alors

( 3 ) am.eim' — a ( nm -+• am') -*- v = o.

On voit qu'elle ne renferme que deux coefGcients arbitraires ). et v, de sorte qu'/7 sitj/tt de deux couples de jx)ints homologues pour déterminer une involution.

Soient [a^a'], (A, b'), (c, c'), trois couples de points homologues de deux divisions en involulion : quatre quelconques de ces six points ont leur rapport anhnrmonique égal h celui des quatre points homologues ; ainsi l'on a, par exemple, (abcb' ) = (a'b'c'b)^ car les deux systèmes ab(b\ a'b'c'by sont homographiques. Réciproquement, j>our que trois couples de points («,«'), (^, ^'),(r, c'^^cn ligne droite y soient en involution, c'est-à dire pour que les points c et c' soient deux points homologues des deux divisions homographiques en involution déterminées par les deux couples (/7, o'jet (ô, b')^ il suffit que quatre de ces points aient leur rapport anharmonique égal à celui de leurs homologues ; car, si Ton a, par exemple, [abcb') = (a'b'c'b'), les deux divisions abcb\ a'b'c'b, sont homographiques, et au point ^, considéré tour à tour comme appartenant à la première et à la seconde division, répond toujours le môme point b\

Il résulte do là que l* involution est une propriété projective,

1 il4. On sait que deux divisions homographiques de même base ont deux points doubles réels ou imaginaires, dont le milieu coïncide avec le milieu des points I et J' homologues de l'infini. Donc, toute involution a deux points doubles e et /, réels ou imaginaires, dont le milieu est le point central 0 ; cela résulte d'ailleurs de la relation (2) qui donne, pour les segments Oer et 0/ relatifs aux points doubles^

Oc = H- v^Ô7ï~U7, Of^ — \fÔ^rjû',

[a, a') étant un couple quelconque de points homologues.

Ces expressions montrent encore que le segment ef, formé par les deux points doubles réels ou imaginaires, est divisé harmoniquement par chaque couple de points homologues (rt, //'), (^, ^' ),...(' ). Le point central, ayant môme puissance par rapport à tous les couples {n, a'), (^, b'), ... de

yill ■■■ ■■■■ » ^— ^.^ I ■■■■■■I I !■■■ ■■■ Il .1-11^- I ■■■! ^■l .■■■■■ »^ ■■■ ■ ■^■^— ^^B^M

( * ) Il résulte de là que, lorsque l'un des points doubles e est h rinfini, Tautre point double / est le milieu de tous les segments aa'^ bb'^ cç'j ....

radical et la droite de V infini. Les deux points d'intersection situes sur l'axe radical peui^nt être tous deux réels ou tous deux iimxginaires. Quand les cercles sont concentriques. Taxe radical passe à l'infini, l^s deux cordes communes se confondent, et les deux cercles ont un tiouble contact imaginaire à V infini. Ces dernières idées onl élé émises d'abord par i^ncelet {Propriétés projectives, i"* Section, Chapitre II) ; mais, depuis cette époque, i'introduclioù des imaginaires en Géométrie a donné lieu à de remarquables travaux (Smith, Annahs de TortoLini, 1^69; Laguerre, Nouvelles Annales, 1870, etc.).

DIVISIONS ET PAISGBAUX HOMOGRAPHIOUES Eff INVOLVTION.

lllâ. On dit que deux divisions homographiques de même base L forment une inçolution, lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point a qui, considéré successivement comme appartenant à Tune ou à Tautre division, a toujours pour homologue le même point a',

L homographie de deux divisions de même base s'exprime (1105) par la relation générale

(i) 0/iî.O///-h OJ'./w/«'-+-v =0,

0 étant le milieu des points I et J' dont les homologues sont à Pinfini.

Pour que l'égalité

Qa,Oa' -^Oï.aa' -hj = o

ne change pas quand on permute a et a\ il faut et il sufGt que OJ' = o. Donc, pour que deux divisions homographiques forment une involution^ il faut et il suffit que les /joints I et J', homologues de Pinfini, coïncident. La relation ( i ) se réduit alors à

(a ) 0 //J . 0 /«' = const . ,

et la symétrie de cette équation, par rapport àO/71 et à O//1', montre qne tous les couples de points homologues jouissent de la même propriété que le couple (/w, //i'). Ainsi, ^«/w deux divisions homographiques en ift^ volution, tout point considéré successivement comme appartenant à la première et à la seconde division a toujours le même homologue.

Le point 0, où sont réunis les points I et J'et dont le conjugué est à rinÛni, reçoit le nom de point central de l'involution.

1413. L'équation (a), trè&KM)mmode à cause de sa simplicité, est trop particulière. Lorsqu'on veut prendre pour origine commune des deux divisions, non plus le point centrai 0, mais un point quelconque a d6 b

base, il siifTii d'exprimer dans la relation (1101)

am.ani' — \,ani — \L,ani' -f. v = o

que les points I et J' coïncident, c'est-à-dire, puisque (1101) ). = aV et (JL = al, que X = |jL. L'équation d'involutiou est alors

( 3 ) am .eim' — a ( am -f- am*) -i- v = o.

On voit qu'elle ne renrerroe que deux coefficients arbitraires ). et v, de sorte qu'// suffit de deux couples de jioints /lomoiogues pour déterminer une inpolution.

Soient (a, ^')» (^, à'), (r, c*), trois couples de points homologues de deux divisions en involution : quatre quelconques de ces six points ont leur rapport anliarmonique égal a celui des quatre points homologues ; ainsi Ton a, par exemple, [abcb')=^[a*b'c'b)y car les deux systèmes abvb\ a'b'c*b^ sont homographiques. Réciproquement, pour que trois couples de /joints («,«'), (6, ^'), (r, c'), ^/î ligne droite, soient m involution, c'est-à dire pour que les points c et c' soient deux points homologues des deux divisions homographiques en involution déterminées par les deux couples («, a') et (^, ^'), il suffit que quatre de ces points aient leur rapport anharmoniqtie égal à celui de leurs homologues ; car, si Ton a, par exemple, [abcb') ==(a'b'c'b'), les deux divisions abcb\ a'b'c'b, sont homographiques, et au point ^, considéré tour à tour comme appartenant à la première et à la seconde division, répond toujours le môme point b\ 11 résulte de là que l* involution est une propriété projectit^e.

1114. On sait que deux divisions homographiques de même base ont deux points doubles réels ou imaginaires, dont le milieu coYncide avec le milieu des points I et J' homologues de l'infini. Donc, toute involution a tleux points doubles e et /, réels ou imaginaires y dont le milieu est le point centnd 0 ; cela résulte d'ailleurs de la relation (2) qui donne, pour les segments Oe eiOf relatifs aux points doubles^

Or = -h \/0a.Oa\ Of ^ — /Ow.U//',

{a^ a*) étant un couple quelconque de points homologues.

Ces expressions montrent encore que le segment ef, formé par les deux points doubles réels ou imaginaires, est divisé harmoniquement par chaque couple de points liomologues (r/, /i'), (^, ^' ),...(' ). Lepoint central, ayant môme puissance par rapport à tons les couples (a, a'), (A, b'), ... de

(*) Il résulte do là que, lorsque Tun des points doubles e est h l'inflni, Tautre point double / est le milieu de tous Ie& scgmeols aa\ 6b' j ce', ....

38o GÉOMÉTRIE DANS L'eSPÀCE.

points homologues, appartient à Taxe radical de deux cercles quelconques

ayant respectivement pourdcordcsdeux segments quelconques /?*»', bb\

Donc : \^ si sur les divers segments a{t\ hb\ cc\. ,. formes par chnque couple de points homologues, on décrit des circonférences passft tu loiilas par un même point quelconque extérieur à la base, ces circonférences ont un second point commun et leur corde commune coupe la base au point central; 2° les circonférences décrites sur les divers segments clu\ hb\ ce', ... comme diamètres, ont pour axe radical commun la per* pendicufaire à la base élevée par le point central.

Nous avons déjà trouvé la plupart de ces résultats au n* 381 où nous avons ébauché en quelque sorte la théorie de l'involution en prenant pour point de départ la relation (1) ei-<iessus. Nous renverrons à ce numéro, pour ce qui concerne rinfloence de la rôalilô ou de l'imaginarité des points doubles sur la disposition des points d'une division involutive.

i 1 IS. Les points doubles c etfde deux dlvisiofM homographiqttjQS qtiel* conques, abc, , . ,, a'b'c',, , ,^ de même base, forment une vwolution ai^c chaque sjstème de deux couples tels que ab' et a' b ; car on a

{abef)^{a'b'ef)=.(b'a'fe) (318),

de sorte que les deux figures abef b'a'fe, sont homographiques, el que le point e. considéré tour à tour comme appartenant à l'une el à l'autre, a toujours le même homologue /.

On conclut de là (1114) que : i*' les trois circonférences, menées par un même point g quelconque extérieur à la base et par les trois segments ab\ ba\ ef passent toutes trois par un second point çonutiun; '>." les circonférences décrites sur ab\ ba\ ef, comme diamètres, ont même axe radical.