RELATIONS UÉTRIQUES ENTRE TROIS SEGMENTS EN INVOLITION

1116. Soient («, a'), (b, U), (r, c'), trois eouples de points (réel* ou imaginaires) situés en ligne droite, et ,

ipiX -f- ^1 r= o, x^ — ip^x -4- <7, = o, »r* — ipix -h 73 = 0,

■ h^s équations qui les représentent, eu adoptant pour origine commune un point A arbitraire de la base. Pour que les trois couples

MVUE VIII. — LES COURBES USUELLES. oM

forment une involulion, il faut et il suffit (1113) que chacun d'eux salisfasso à la relation

A/w.A"//*' — X(Am-H A/m') h-v=:o;

de là, les trois équations

qui doivent être satisFaites par les mêmes valeurs de X et de v. La condition d'involutiou résulte donc de l'élimination de X et de y entre ces trois équations ; on trouve

Cette équation (i) résulterait pareillement de réliminalion du paramètie arbitraire A* entre les deux reUtions

qui peuvent dès lors remplacer la condition ( i ).

Hn vertu de cee valeurs, l'équation x' — î»/^'^ j:* •+- 73 = o peut s'écrire

-r* — a/^, X -H 7, -h / (.r' — 'xp^x -h 7^ ) = o ;

telle est Téqualion qui détermine le troisième couple (e, c*) en fonction des éléments des deux premiers (a, a') et (6, ^').

1 117. Dans les applications, il est souvent plus commode de substituer aux élêmenls ^,, 7,, ^„ 7,, /?,, 7,, les segments Aat, ka\ Xb, kb\ kc^ kr' ; or, si X, p, 7, désignent respectivement les milieux des segments a^', bb\ cc\ on a

A = A«, A = A6, />3 = Ay,

et, par suite, la condition d'involulion (i) sVcrit

(a) Aûr.Art'.É^y -H kb.kù'.yx -+- Ar.Ac'.a^ =0.

Cette équation fondamentale en donne beaucoup d'autres. Par exemple, si l'on fait coïncider successivement l'origine arbitraire A avec chacun des points a, a\ 6, b\ c, c', on obtient le groupe

nb.ftb' __ ap n^b.a'b' aS acac* "" ay a'cn'c' "^ 47

^' ba^i'^^x b'et.b'a'''^x'

ra,ra' yx c*fi,c'a* 72

cb.cb''^yy v'0.c'b*~ fP*

382 GÉOMÉTTIIR DANS L'ESPAC».

En remarquant que les équations écrites sur la même horizontale ont le même second membre, on a encore

ah.aU n*h,Hh* ac.dc' fi'c.d'c'

. . hr.bc' b'cMc'

^"^^ \ ba.bd" b'uMa'

ca.ci^ r' rt,rn cb.cU" cb.c'U*

Enfm, en multipliant entre elles de toutes les manières possibles trois des six équations (3), prises de telle façon que le produit des seconds membres soit égal à i, on obtient

ab ,bc\cd = — db.b'c.ca^

, ab'.bcx'd — — a b.b c xa^ (5) \ , , , , ,

^ ab.Uc.cd ^ — db',bc.ca,

ab.b'ce' d = — db' . bc'.crt.

FAISCEAUX EN INVOLi;TION.

Iil8. On dit que deux faisceaux bomographiques de même centre sont en involiUhn ou forment un faisceau inpolutif, lorsqu'on peut trouver une droite qui les coupe suivant deux divisions en involution. Alors toure autre section rectiligne des deux faisceaux donnera deux divisions en involution (ili3).

Dans un faisceau inpolutif, tout rayon considéré tour à tour comme appartenant à l'un et à Vamre faisceau a toujours le même homohgrte. Inversement, deux faisceaux bomographiques de même centre sont en involution s'il existe un rayon qui, considéré successivement eonune appartenant au premier et au second faisceau, mit toigours le même ko/uo* logue (H 12).

Un faisceau inoolutif est déterminé par deux couples de rayons HomO' logues.

Six rayons issus d^un même point et conjugués deux à deux sont en involution si quatre d'entre eux, convenablement choisis, ont même rapport anharmonique que leurs conjugués; et alors, quatre quelconques^ ces rayons auront même rapport anharmonique que leurs coHfU' gués (1113).

Dans tout faisceau involutif, il y a toujours deux rayons doubles réels ou imaginaires ; les rayons doubles forment un faisceau harmonique a^ deux rayons homologues quelconques (111 J )•