LIVRB VUI. — LES COURBES USUELLES
Un angle droit tournant autour de son sommet engendre tm faisceau involutif dont les rayons doubles sont imaginaires (381/ 2®).
H 19. Quand plusieurs cordes aà, bb\ cc\ . . . , d'un cercle passent par un même point w, les couples de droites menées d'un point quelconque 0 fie la circonférence aux extrémités de chaque corde sont en inpoliUion
FIg. 576.
n suffit de démontrer l'égalité des rapports anharmoniques {O.abca')^ [O.i/b'c'a], Or, si l'on désigne par 0' le second point d'intersection du cercle et de la droite 0&>) on voit quelerapport anharmonique [O'.a'bfcfa) est égal à chacun des deux qui prc^cèdent. Il équivaut au premier, puisque les droites Oa, 0^, Oc, Oa\ coupent respectivement les droites OV, 0'^', 0'c\ O'/i, sur la polaire du point &> ( 341) ; et il équivaut au second, d'après l'observation faite au n^321, i°.
Réciproquement, si par le centre commun 0 d'un fmsceau involuXif on fait passer un cercle quelconque^ les cordes interceptées dans ce cercle par les couples de rayons homologues concourent en un même point 6>. Car, si tu est Tintersection des deux cordes aa' et bb\ et si l'on désigne pour un instant par c" le second point où la droite 6>c rencontre le cercle, les droites Oa, Oa\ 06, Ob\ Or, Oc', seront en involution d'après le théorème direct ; or, Oa, Oa', 06, 06', Oc, Oc', sont en involution par hypothèse; donc, Oc' et Oc' coïncident, et, par suite, les pointa c'et c' ; la corde c'c passe donc par m.
De là résulte immédiatement cette proposition très-importante :
Dans tout faisceau involutif, il existe toujours un couple de rayons kn^ mologues rectangulaires. Ce sont les deux rayons Or/, Ocf, qui aboutissent aux extrémités du diamètre qui passe par &». Toutefois, si le pointu était au centre du cercle, tous les couples de rayons homologues seraient rectangulaires. Ainsi le couple de rayons homologues rectangulaires est unique ^ à moins que tous les couples ne soient rectangulaires ; dans ce cas particulier, les rayons doubles sont imaginaires : cela résulte du n"* 381, a"*; on peut aussi le voir directement, car les rayons doubles correspondent
aS-j (ÎÉOMÊTHIK DANS' l'kSPACS.
en général aux points de contact des tangentes menées an cerclé par le point b> ; or ces tangentes sont imaginaires quand le point bi est au centre da cercle.
PROrniÉTKS INVOLUTIVES DU QUASBUiATÈaB.
Ii20. Toute transifcrsalcL menée dans le plan d^un quadrilatère h^X^ rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points, a et d, h et h\ c et c', qui sont en involution (Jîg. 577) ; car les faisceaux horoographiques ( AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA, CD, Ce'), déterminent sur L •deux divisions homographiques, et l'on a
[acb'c')=(bc(W) ou (320) [acb'c') = {riVAc),
d'où Ton conclut (M 13) que les segments aa', ^^', cc\ sont en inv^/jtion.
Les six droites menées d'un point quelconque 0 du plan tl'itn quad/ilatère ABCD atix sommets et aux points de concours E et F des càU" opposés, sont en inpolution; car le quadrilatère OAFB, dont OF et AB sont les diagonales, détermine, d*après le théorème précédent, six poinU en involution sur la transversale DC ; donc, les droites OA et OC, OB et OD, OE et OF, qui passent par ces six points, sont en involution.
En plaçant le point 0 à Tintersection des deux circonférences décrites sur AC et BD comme diamètres, les couples de rayons homologues OA et OC, OB et OD, seront rectangulaires; donc, le troisième couple OE et OF le sera aussi (iH9), et, par suite, la circonférence àé' crite sur EF comme diamètre passera par les deux points communs aux deux premières; donc, les trois circonférences décrites sur les trois dinmètres AC, BD, EF, d*un quadrilatère complet comme diamètres^ se coupent aux deux mêmes points ; d'où Ton peut conclure immédiatement le théorème du n" 317.
1121» Quand un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle, une transversale quelconque L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en trois couples de points (a, a'), (byb')y(e^ /), qui sont en involution (fg. 577).
En effet, les droites qui joignent aux points fixes A et C un point mobile qui décrit la circonférence, forment deux faisceaux homogra*
1123. Quand tm qaadnUuère abcd est drconserii à un eereie, si d'un point 0 situé daus son^ on mène des droites Oa^0b,0cfi*h àses sommets et tieujc *angcnUfOit OF, à lacourbe, lestnns ewfksàt droites Oa et Oc, Oh eiOd^OR^ OF, sont en involution \fg* ^7^r
En effet, une tangente, eD i^^"* lant sur le cercle, trace sur ki i^ngénies fixes nb et cd ùtws diriâioné homographiq«cs(l 1 10). Les droites
