LIVRE VIII. — I.E6 COtRIU:^! U$IΣLLES
phiques (lilO); par suite, ces faisceaux tracent sur L deux divisÎQns homographiques dont e et /sont les points doubles. D'ailleurs, comme AB et BG, AD et CD, sont deux couples de rayons homologues dei> deux faisceaux,aeti,&' et r<', seront deux couples de points homologues des deux divisions. Donc (ill5) les trois couples (û,a'), (ô, ^'), (^,/), sont ea involution.
raeoéesdu pointO à ces difers points forment dcmc deux faisceaux homographiques dont CE et OF sont ie8 ravons doubles. D'ailleurs, comme n et r/, h et c, sont deux couples de points homologues des deux divisions, 0<i etOfi, 06et Oc,sont deu]( couples de rayons homologues des deux faisceaux. Donc (1118) les trois couples Ort el Oc, 0^ et Orf, OE cl ÛF, sont en involulion.
Fig. 578.
Au lieo de prendre les deux oouples de c6tés oppoefe, on pourrait prendre un couple de côtés opposés et les deux diagonales; le théorème subeiiterait, car ces quatre droites forment aussi nu quadrilatère inscrit au même cercle.
Il résulte du théorème précédent (ViC, si un quadriiatére inscrit à un cercle te déforme de telle sorte que tnH^ de ses côtés tournent autour de
n. cl Di C. — Tr, de Ceom.
Au Heu de prendre les deux couplesde sommets opposés, on pourrait prendre un couple de sommets opposés et les deux points de concours e et/des cétés opposés ; le théorème subsisterait, car ces quatre points sont aussi les sommets d'un quadrilatère circonscrit au même cercle.
11 résulte du théorème précédent que, si un quadrilatère circonscrit a un cerde se déforme de telle sorte que trois de ses sommets glissent sur
(II- Partie). •«">
(SÊO^TRie DANS l'eSPACK.
en général aux points de contact des tangentes menérs au cercle par le point tû ; or ces tangentes sont imaginaires quand le point a est au centre du cercle.
PROrniÉTKS INVOLUTIVBS DC QUADRILÂTÈAB.
Ii20. Toute transversale L menée dans le plan d^itn quadrilatère KSL\^ rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points, a et d^ h et h\ c et c'y qid sont en involution (Jfg. 577) ; car les faisceaux homographîques (AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA, CD, Ce'), déterminent sur L deux divisiofis homographiques, et Ton a
(acb'c')=(bc(^c') ou (320) [arUc') = (a*c'bc),
d'où Ton conclut (M 13) que les segments «a', bb\ cc\ sont en inv».Iition.
Les six droites menées d'un point quelconque 0 du pian d*un quadrilatère ABCD aux sommets et aux points de concours E et F des côtes opposés, sont en imolution; car le quadrilatère OAFB, dont OF et Aîî sont les diagonales, détermine, d*après le théorème précédent, six points en involution sur la transversale DC ; donc, les droites OA et OC, OB et OD, OIi et OF, qui [tassent par ces six points, sont en involution.
£n plaçant le point 0 à Tinterseclion des deux circonférences décrites sur AC et BD comme diamètres, les couples de rayons homologues OA et OC, OB et OD, seront rectangulaires; donc, le troisième couple OE et OF le sera aussi (H19), et, par suite, la circonférence décrite sur £F comme diamètre passera par les deux points communs aos deux premières ; donc, les trois circonférences décrites sur les trois dia^ mètres AC, BD, EF, d^un quadrilatère complet comme diamètres^ iC coupent aux deux mêmes points ; d'où Ton peut conclure immédiatement le théorème du n' 317.
1121. Quand un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle, une transversale quelconque L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en trois couples de points (a, «'),
( ^^1 ^')» {^tf)i ^i^ ^^^^ ^^ involution [fg, 577).
En effet, les droites qui joignent aux points Gxes A et C un point mobile qui décrit la circonférence, forment deux faisceaux homogra*
1123. Quand un ^uadntatên abcd est circonscrit à un eerchf si d'un point O situé dans sonpftis on mène des droites Oa, Ob^Qc^Od^ àses sommets et deux :angcnies0^j OF, à la courbe^ les tiviscmplesde
droites Oa etOc,ObetOd,ORf OF, sont en inpoiution (^. S^S)*
En effet, une tangente, en roulant sur le cercle, trace sur k» tangentes fi%e9 ab et r//deux ditisionJ homograpliîques(! 1 10). Les dwil^^
