LIVRE VIII. — LES COL'HIlKli USUELLES

phiques (1110); par suite, ces faisceaux tracent sur i. deux divisions homographiques dont e et /sont les points doubles. D'ailleurs, comme AB et BC, AD et CD, sont deux couples de rayons homologues deë deux faisceaux,aet&,^'eta',seronl deux couples de points homologuer des deux divisions. Donc (1115) les trois couples {a^a\ (^, î'), (^,/), sont en involution.

Fig. 577

Au liea de prendre tes deux 0011plM de eôtés opposée, on pourrait prendre un couple de côtés opposés et les deux diagonales; le théorème sabsiiierait , car ces quatre droites fomient aussi un quadrilatère inscrit au même cercle.

Il résulte du théorème précédent riDC, si un quadrilatère inscrit à un cercle jie déforme de telle sorte que ttffÎA fia SCS côtés tournent autour de

U. cl o« C. — Tr, de Géom.

roenéesdu pointOà ces divers points forment donc deux faiscei>ux hoino-»

graphiques dont 0£ et OF sont ieA rayons doubles. D'ailleurs, comme n et r/, b et c, sont deux couples do points homologues des deux divisions, Oa exOd^ O^et Oc,sont deu3( couples de rayons homologues des deux faisceaux. Donc(1118) les trois couples Ort et Oc, Ob et Orf, OE cl OF, sont en involution.

Fig. 578.

ov -> ^

Au lieu de prendre les deux couplesdesommelsoppo8és,on pourrait prendre un couple de sommets opposés et les deux points de concours e et/des côtés opposés ; le théorème subsisterait, car ces quatre points sont aussi les sommets d'un quadrilatère circonscrit au même cercle.

Il résulte du théorème précédent que, si un quadrilatère circonscrit èi un cercle se déforme de telle sorte que trois de ses sommets glissent sur

(!!• Partie).

'ii

trois points en ligne droite, le quatrième côté tourne aussi autour d'un pointée de cette droite.

On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points en ligne droite.

trois droites passant par un même point, le quatrième sommet aécHt aussi une droite passant par cr point.

On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Cireonscrire à un cercle un triangle dont les sommets reposent sur trois droites données et passant par un mésne point.

Le théorème du n"" liai est dû au célèbre géomètre français Desargues (première moitié du xvii* siècle); toutefois, les anciens [Collections mathématiques de Pappus) en ont connu des cas particuliers.

1123. Voici les deux cas particuliers les plus intéressants :

En supposant un ou deux côtés innniment petits et remplacés par des tangentes, on a ces énoncés :

Quand un triangle est inscrit dons- un cercle, les points où une transversale rencontre la courbe, deux côtés du triangle, le troisième côté et la tangente au sommet opposé, sont en involution.

Quand un angle est circonscrit à un cercle, les points où une transversale rencontre la courbe, les deux câ/és de f angle et la corde de coni/xt, forment une involution dont le dernier point est un point double.

En supposant que le quadrilatère circonscrit se réduise à un triangle ou à un angle, on a ces énoncés :

Quaml un triangle est circonscrit à un cercle, si d Utn point quelconque de son plan on mène les deux tangentes au cercle, les deux droites qui aboutissent à deux sommets, et les deux droites qui aboutissent, l'une au troisième sommet, r autre au point de contact du côté opposé^ on obtient un faisceau inçolutif.

Quand un angle est circonscrit à un cercle, si d'un point quelronqu/r de son plan on mène ^es deux tangentes au cercle, les detuc droite^ qui aboutissent aux poinu de contact des côtés de l'angle et la droite qui passe /?ar le sommet de l'angle, on obtient un faisceau involutif dont la dernière tiroite est un rajfon double.

CONSTRTCTTONS BELATIVES A l'HOMOGRAPHIB ET A L'iîfVOLCTIOJI.

1124. Construire deux divisions homograpltiqucs , connaissant trois couples de points homologues.

Nous avons déjà donné une première solution de ce problème (1103). En voici deux autres.

Supposons les deux divisions tracées sur deux droites différentes L et L'et soient (a^af), (6,6'), (c,r') trois couples de points homologues.

!• Prenons Tintersection p de ab' et de a'b, l'intersection 7 de ac' et de a'cy et tirons la droite Py que nous désignerons par>; m étant un point quelconque de la division L, menons a' m et joignons au point alepointfA, où a' m coupe >; la droite ayi rencontrera L' au point m' homologue de m. En effet, en désignant par a le point où \ coupe aa\ on voit que les divisions abcmy a'b'c*m* sont homographiques comme étant homologiques de la division af^y^x [Jt^, 579).

a* Décrivons un cercle quelconque dans le plan des droites L et L' (/]^. 58o) et joignons à un point quelconque 0 de la circonférence les points a,6,r, a\b\<f^ m\ les droites ainsi obtenues couperont la circonférence en des points que nous désignerons respectivement par a, ^,7, a',p\7',|jL. B étant le point commun à o^'et a'P, C le point commun à 07' et a' 7, tirons la droite BC que nous désignerons par >. En joignant le point a au point de rencontre M de >. et de a'^, on obtient une droite a M qui coupe le cercle en pt',et il suffît de menerOfi' jusqu'à sa rencontre avec L' pour avoir Thomologue m* de m. En effet, si m* désigne Tbomologue de m, les faisceaux [O^abcm], et [Oya'b'c'm') ou (0, apy;*), (0, a'P'7>'). sont homographiques; donc (il08) il en est de même des faisceaux («,a'p Yfi') et (9', aP7fA); mais, comme ces derniers fiiisceaux ont un rayon

38*^ . GËOMËrHlE DA>S L'eSPACB.

hoq^ogtie sommvp cai',]Bs iplerseclions B, C, M, des autres couples de rayoDS bomologues sont en ligne droite; donc, les rayons su' ela'p

se croisent sur la droi:o DC ou ^ ; en d'autres tonnes, la droite qnî joint a su point M, où x'fi rencontre 1, pa^jse par le point (i', oùOm' coupe le ctrcte.

Celte dernière construction s'applique au ces où les deux dmsions (a, n, ), (£,£,) [c,c,)tont sur la même droite L, et elle donne aisément Uit, points doubler ctlf; il suffit, en eflel de joindra le point 0 aux points 1 et 7 oij 1 raupe le cercle et de f>rolonger les droites Ot et O; jusqti't leurs rennontres avec L; si ladroileX estexlérieure au cercle, les points doubles sont imaginaires.

1125i Conttruire iin faisfeaii im-oliuif, connaissant deux eoaplei (Ofl et Oa'), (Oi etOi')', ds rayamt hama^uen.

On tracera (fig. 576) un cercle quelconque passant par le point 0, et l'on déterminera ie point u du concours dee cordes an', bb', interceptées par les deui angles nOa', bOb'. Cela posé, on obtiendra :

1° Le rayon Oc', homologue d'un rayon donné quelconque Oc, en joignant le point u au point c où Oc rencontre le cercle, pniS le point 0 au second pointe' d'intersection du cercle et de la droite wc (U19);

a° Les rayons doubles, en joignant le point 0 aux points de oonUct des tangentes menées par u;

3" Le systéote des deux rayons rectangulaires, en joignant le point O aux extrémités du diamètre qui passe par ».

1 1 26. Deux faisceaux Snvotiitifs de même sommet étant damtèt ebatMM