LIVRE VIII. — LKS COURBES USUELLES. t\oZ

longueur de ce diamètre,

Si le diamètre est non trans verse (hyperbole), il n'y a pas de points doubles; mais alors les points D et D', que nous sommes convenus d'appeler les extrémités de ce diamètre, sont évidemment conjugués, car le pôle de DO est sur la polaire do 0, c'est-à-dire sur la droite CD' qui, étant parallèle à l'asymptote, est la corde de contact des tangentes Ou et 6C; on a dans ce cas

(1) Op. 0/^' = —/»'«,

/>' étant la demi-longueur OD du diamètre non transverse.

1 1 46. On nomme cordes supplémentaires doux cordes qui, partant d'un môme point m de la conique {Jlg, 587), aboutissent aux extrémités d'un même diamètre AA'. Deux cordes supplémentaires km^ A' m, sont parallèles à un système de diamètres conjugués. En effet, soient OC et OD deux diamètres respectivement parallèle? à Mm et à A//i. OC, passant par lo milieu O de A A', passe par le milieu h de A m; il divise donc en doux parties égales les cordes parallèles à OD, et par suite OC et OD sont conjugués. Inversement, dciuc droites Km et X'm menées par les extrémités d'un diamètre AA', parallèlement à deux diamètres conjugués quelconques OD et OC, se coupent sur la conique. Car désignons par i& le point où la corde Xm parallèle à OD coupe la conique, et menons (lA'; les cordes supplémentaires Afjt, A'fA, sont parallèles à deux diamètres conjugués, et, comme A(x est parallèle à OD, A'ja doit être parallèle à OC; elle ne diffère donc pas do X'm et les points m et [1 se confondent.

Cela posé, considérons séparément l'ellipse, l'hyperbole et la parcbolo.

1117. Vellipse n'ayant aucun point à l'infmi, la droite de l'infini est extérieure à la courbe, et son pôle 0, c'est-à-dire le centre de l'ellipse, est à rinlérieur de la courbe. Tous les diamètres rencontrant la courbe en deux points réels sont limités; et, comme les tangentes issues du centre sont imaginaires, le faisceau en involution formé par les divers couples de diamètres conjugués n'a pas de rayons doubles; donc, un couple quelconque (OA, OB) de deux diamètres conjugués est séparé pfur tout autre couple (OC, OD); en d'autres termes, si OC est situé dans l'angle BOA (Jtg. 587), OD est extérieur à cet angle.

Le diamètre AA' étant la polaire du point à l'infini sur le diamètre

^oi GÉOMÊTniB DANS L*£SPAGE.

conjugué OB, les coirdes supplémentaires A m et A m' tracent sur OB« quand m se déplace sur la courbe, une involution dont B est un point double (1133). On a donc, en appelant n cl n' les points où OB rencontre A m et A m', la relation

(i) Ow.O/^' = ÔB^

Prenons pour axe des x le demi-diamètre OA, dont nous désignerons la longueur par a\ et pour axe des y le demi-diamètre OB, dont nous désignerons la longueur par b' :jr et a: étant les coordonnées mp et Op d'un point quelconque m de la conique, on a, en considérant d'abord les

/ /-1kl/ ^'/"T*'

triangles semblables nOA et mpA^ puis les triangles semblables m'0\ et mpA\

y Ort j' Ow'

en multipliant membre à membre et en ayant égard à la relation (1). on obtient pour l'équation de l'ellipse

Si l'on désigne par x', ^', et par xf, f les coordonnées des extré* mités C et D des diamètres OC et OD parallèles aux cordes A'm et A m, on a, en considérant d'abord les triangles semblables OC 7 et A'/i'O, puis les triangles semblables ODr, A/iO,

y Ow' f 0//.