LIVRE VllI. — LES COURBES USUELLES. 4o

en multipliant membre à membre et en ayant égard ii la relation (i), on trouve

Le rapport p reçoit le nom de coefficient aiv^ulaire du diamètre OC, de

mème*^ est le coefûcient angulaire du diamètre OD.

Lorsqu'on prend pour axes de coordonnées les axes mêmes de la courbe, on a, en désignant par a le demi grand axe dirigé suivant 0 x et par h le demi petit axe dirigé suivant Oj,

y les coordonnées étant alors rectangulaires, le coefûcient angulaire ^, est

égal à tangCOA, et -; est égal à langDOA.

II est Tacile d'exprimer les coordonnées x', y" de l'extrémité D d'un diamètre OD en fonction des coordonnées x\y, de l'extrémité C de son conjugué OC. En effet, le point C étant sur la courbe, ses coordonnées x' et y satisfont à l'équation ( î); on peut donc poser

(0) x'=flcoso', /s-^sin©',

et de mémo

(7 ) x" = rt cos©", y" = b sin^p' .

La relation ( 5 ) devient alors

cos(©' — ?') - o, d'où (p' = - -h ^'

et, par suite,

(8) x' = — rtsinç' = — T^'i r'' = ^cosç'= -x';

4o6 GÈOMÉTRIB DANS l'eSPACE.

pour avoir les coordonnées de Tautre extrémité D' du diamètre CD, il

suffirait de changer les signes.

Les relations (6) et (8) donnent

X" -h X" = rt*, 7" -+-^' = b"^ ;

donc la somme des carrés des projections orthogonales des deux dem.diamètres conjugués OC et OD sur chaque €ixe est constante. En ajoutant les deux égalités précédentes, on a

(x'^^y^)-i-(.v''-'-^y^) = a''hb' ou 5cVÔD = «»^^*;

donc , la somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est amstante.

Le triangle OCD est la moitié du parallélogramme conslruit sur les deux demi-diamètres conjugués OC et OD. Il est égal au trapèze CD/?, diminué de la somme des deux triangles rectangles OC7, ODr; son aire a donc pour expression

'-(y-^y')('^'--rn-'^(-.x'y)-'^xy = ^{x'f^x'y)

ou - abj eu éj^ard aux formules (6) et (8). Donc, faire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués est constante.

Les deux derniers théorèmes sont dus à Apollonius.

I^ proposition précédente peut s'écrire, d'après une expression bipn connue de Taire du triangle,

OC . OD sin COD = ab.

L'angle obtus COD de deux diamètres conjugués est maximum quand fon sinus est minimum, c'est-à-dire quand le produit OC.OD ou son carré est

maximum ; ce qui a lieu pour OC = OD, puisque OC -h OD est constant. Ainsi, les diamètres conjugués qui font le plus grand angle sont les diamètres conjugués égaux. Le carré de leur demi-longueur commune esi

I (fl'-t-6'), et Ton a

^ (a^ -^ b^) = X- ' -^ T' = a' cos' f' -h b^ sin'/.

On déduit de là sincp' = - - = cos/ ; par suite, les coordonnées x' dj

du point C sont alors proportionnelles k a ei bl de sorte que les ^amètrès conjugués égaux sont dirigés sidvant les diagonales du rccttin^ construit sur les axes.

LIVRK VIII. — LES COl'RBBS USUELLES. ^OJ

L*angle GOD de deux demi-diamètres conjugués est droit lorsque OC coïncide avec le grand axe, puis il augmente jusqu*à ce que OC soit dirigé suivant une diagonale du rectangle des axes ; il diminue ensuite et redevient droit lorsque OC reprend la position du petit axe.

Quand les axes a et ^ de l'ellipse sont égaux entre eux, l'équation (4) se réduit à x' -^y = a*; tous les points de la courbe sont donc à une distance du centre égale à a; en d'autres termes, Tellipse dégénère en un cercle.

Pour une même abscisse O/i {J!g. 588), c'est-à-dire pour une même

Fig.

valeur de Tangle f\ l'ordonnée tnp de l'ellipse est ^sin^', et celle np du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre est a sin^'; le rapport -^

(>sl donc constant et égal à - •

Remarquons onfm que l'angle auxiliaire f', dont l'emploi est si commode, est précisément l'angle riOp,

1 148. V/tr/frrboic ayant deux points réels sur la droite de TinGni, son contre est extérieur à la courbe (1133) ; les tangentes Oir, Op, issues du e<>nlre, c'est-à-dire les asymptotes, sont donc réelles; ce sont les rayons doubles du faisceau en involution formé par les deux couples de diamètres conjugués. Il suit de là que deux diamètres conjugués tpielconques divisent harmoniqucment f angle des asymptotes et qu'aucun couple de diamètres conjugués n est sèfioré par aucun autre. £n6n, de deux diamètres conjugués, l'un rencontre réellement la courbe et l'autre ne la rencontre pas (llii).

Les portions AK, AE' (fig, 589) d^une tangente comprise entre l'/if'fH'rboie et ses asymptotes sont égales; car les asymptotes Ou et Oc, le diamètre OÂx et son conjugué 0/ forment un faisceau harmonique, et la tangente EAE', étant parallèle au rayon Oy de ce faisceau (il i3), est divisée en deux parties égales par les autres rayons. Il suit de là que, si Ton mène AP et AF parallèles aux asymptotes, P est le milieu de OE et P' le milieu de OE'; donc, lorsqtûon prend les asymptotes pour axes de

GfiOMfiTRlE DANS l'eSPACE.

coordonnées , la sous-tangente OE' est double de l'abscisse OP' tist point de contact.

Les portions gm et g' m' d^une sécante gg', comprises entre /''hyperbole et ses asymptotes, sont égales. En effet, soit BÂE' la tangente parallèle à gg\ et Oâ le diamètre qui passe au point de contact; ce diamètre divise la corde mm' de Thyperbole en deux parties im et im' égales entre elles; mais, puisque A est le milieu de EE', f est évidemment le milieu de la parallèle gg' ; donc ig = ig\ et, par suite, ig — im ou gm est égal à ig'^ im' ou g' m'.

Une tangente quelconque EAE', lorsque son point de contact A se déplace sur la courbe, trace sur les asymptotes (1130) deux divisions b<H

mographiques ; et, comme le point 0 correspond évidemment à Tinfini dans Tune et l'autre division, le produit OE.OE' est constant; il en est donc de même de Taire du triangle OEE' et, par suite, de Taire du parallélogramme OPAP', qui est la moitié de ce triangle. On voit par là que, si Ton désigne par x et j les coordonnées d'un point quelconque A de Tbyperbole rapportée à ses asymptotes, Ou et 0<s on a pour Téqualion de cette courbe xy = const.

1149. AOA' étant un diamètre transvôrse quelconque de Thyperbote, menons les tangentes en A et A' qui coupent les asymptotes, la première' en E et E', l'autre en F et F'. Les triangles OAE,AO' F, sont égaux, puisqu'ils ont leurs angles respectivement égaux et que OA = OA' ; donc AE = A'F'; par suite, les droites EE', FF', sont égales, et, comme elles sont parallèles (1143), la figure EFF'E' est un parallélogramme dont 0 est le centre. Soient B et B' les points où le diamètre xOy conjugué de OA rencontre EF et ET'; B est le milieu de EF, B' celui de E'F', les droites AB', A'fi, sont parallèles à Tasymptote Or/, et les droites AB et A'B'à l'asymptote Oc

Cela étant, posons OA r= #2', OB = ^, et prenons les deux demi*dtamètres conjugués OXx, OB^', pour axes des coordonnées; /// étant un