OB.OB

Dès lors, tous les raisonnements faits et les résultats obtenus pour l'ellipse subsistent, en changeant b'^ en — 6" on b' en b'^ — i. Ainsi : I* L'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués a pour équation

Pour X = o, on a/= ±: ^V -"* 1 î de là le nom de longueur du demi' diamètre non transverse attribué à OB = &'.

a et 6 étant les longueurs des deux axes, on a, en prenant ces droites |K>ur axes de coordonnées rectangulaires,

a' 6'"" Les triangles semblables giO^ EAO, donnent

ei EA b' -} ^'»--.«

Oi OA a ^ <i"

on a d'ailleurs, par l'équation de l'hyperbole,

a' donc, en retranchant,

gi — mt = u^ eu

b'' « [^i -4- ////) (^i — mi) « gm.gm' « /y/,?./wg' ;

ainsi ie produit des segments d'une sécante, compris entre un point de

h courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi^iatnètre parai'

lèle à la sécante,

1^ La relation entre les coefficients angulaires de deux demi-diamètres

conjugués est

y-p=^ ou p-p = ;^'

suivant qu'on prend pour axes de coordonnées les demi-diamètres conjugués a' et b' ou les domi-axes a et 2» do la courbe.

4lO GÊO.MÊTRIE DANS L'eSPAOB.

3*" Les coordonnées de rextrémilé d'un demi'-diafnètre s'exprim(*nt en fonction dos coordonnées de ]*exlrémité du demi-diamèlre conjugué par les formules

by,f - I

hyj-i

qui sont dues à M. Chasles {Aperça historique y etc.).

4* La différence des carrés des projections de deux demi-diamètres conjugués sur un axe est constante. La différence ttes carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante ^ ainsi que Paire du parallélogramme constndt sur ces diamètres.

La relation a'* — b'^= a^-^b* montre que, si a est différent de 6, a' est différent de b' ; l'hyperbole n'a donc pas de diamètres conjugués égaux.

Si a = b^ on R a ^ b'f c'est-à-dire que tout diamètre est alors égni à son conjugité^ et l'hyperbole est dite équilatère. Le parallélogramme EET'F construit sur deux diamètres conjugués quelconques est dans ce cas un losange, et les asymptotes qui en sont les diagonales sont alors rectangulaires.

Nous avons vu (1448) que Fhyperbole rapportée à ses asymptotes a pour équation or;^ = K' ; en supposant que dans la^^. 689 les droites OA et OB soient les axes a et b de la courbe, le parallélogramme 0 A E' B' sera un rectangle, et les coordonnées OP' et P'Â du sommet A par rapport aux asymptotes seront Tune et Tautre égales à la moitié de la diagonaie

|/rt' -+- ù* de ce rectangle ; on a donc

pour une hyperbole quelconque, et, en particulier pour Thyperboie équilatère, K' = - a*. On donne souvent à cette constante K^ que nous venons d'exprimer en fonction des axes, le nom de puissance de Phy^jerbole.

THÉORÈME

1150. Dans l'ellipse et dans l'hyperbole :

i"" Deux diamètres conjugués quelconques interceptent sur une tangente fixe ST deux segments CT et CS dont le produU est constant.

a° Une tangente TMT' détermine sur deux tangentes fixes et parallèles deux segments CT, C'T' dont le produit est constant {Jig. 590),

En effet :

i"" Le faisceau involutif formé par les divers couples de diamètres conjugués détermine, sur la tangente fixe SGT, une involution. Le point do