CT.CS

c.v/ négatif dans l'ellipse et positif dans r/tj'perbole, Quwità sa valeur absolue elle est, pour Tune et l'autre courbe, éjgale au carré jiu demidiamètre OD ftaraUèle à la tangente SCT. En effet, supposons que CT Hoit égal à OD; alors, dans l'ellipse {fig. 590), DT étant parallèle à OC, CT' et son égal SC sont égaux à OD; dans l'hyperbole {fig. 586), T est alors en 0 sur l'asymptote, en vertu de la définition (ilU) de la longueur du demi-diamètre non transverse OD, et comme c'est lo point double do l'involution, S est aussi en 6 et par suite CT comme CS est égal à OD.

GÉOMÉTRIE DANS L*BSPACE.

PROBLÈMES

1152. Voici quelques problèmes usuels relatifs à Tellipse et à i'h\perbole.

i" Construire une hyperbole connaissant les asjmptotes Ox et Oj ei un point E {Jig. 69 1).

En menant par le point donné E une droite quelconque, prenant les points d'intersection H et H' de cette droite avec les asymptotes, puis })ortant U'E' = EH, on aura un nouveau point £' de la courbe (11-tôj. La tangente E'T en ce point s'obtiendra en menant E'K parallèle à Or, puis en prenant RT = 0K (11 i8). On obtiendra ainsi autant de poiDt> que Ton voudra de Thyperbole et les tangentes en ces points.

Les axes seront dirigés suivant les bissectrices O^t et 0 ^ des angles des asymptotes. Le point £ et par suite la courbe étant ici situés dans Tangle yOx des asymptotes et dans son opposé par le sommet, ce sera sur la bissectrice Oa de TanglejO^r que sera l'axe transverse. En menant par £ la parallèle à 0 p jusqu'à ses rencontres R et S avec les asymptotes, et construisant la moyenne proportionnelle Ee entre les segments RE, ES, on aura (1119; la demi-longueur b de l'axe non Iransversc; on portera cette longueur de 0 en B, sur Op; puis, en menant BA parallèle à Ox, on obtiendra sur Oale point A qui donnera la demilongueur OA de l'axe transverse.

On pourrait, si Ton voulait, commencer par déterminer a eu menani par E une parallèle à 0 a.

•2° Construire les axes d'une hjrperbole ou d'une ellipse connaissant en grandeur et position un système tle diamètres conjugués.

Pour l'hyperbole, il faut indiquer en outre quel est celui des deux demi-diamètres donnés qui est transverse; l'extrémité de ce demi^dia-

LIYRB Vllf. — LKS COURBES USUELLES. 4)3

mètre est alors un poinl donné de la courbe, et, comme les diagonales du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués donnés jfiont les asymptotes, on voit qu'on est ramené au problème précédent.

Pour Teilipse, on déterminera par le procédé du n"* 1 1 19 le couple 0.r, 0/ de rayons homologues rectangulaires dans le faisceau involutif formé d'une part par le couple donné OC et OD de diamètres conjugués et d'autre part par le couple dirigé suivant les diagonales OE et 01 du parallélogramme construit sur le premier couple. Puis, pour avoir, par exemple, la longueur de l'axe dirigé suivant 0.r, on observera que la projection P de E sur Ox est le pied de la polaire du point T où le côté DE, c'est-à-dire la tangente en E, coupe Ox, en sorte que la lonjîueur cherchée sera la moyenne proportionnelle entre OP et OT.

Nous laissons au lecteur le soin d'efîectuer cette construction; nous avons déjà donné ( 1071) une autre solution du même problème.

i* Trouver le diamètre conjugué d'un diamètre donné OM, connaissant en grandeur et en position un premier couple de diftmètres con^ jugués A A', BB' ifig, 592).

La solution est très-simple pour l'hyperbole. En menant les dia^o-

Fiç. 593.

iiales du parallélogramme construit sur les deux diamètres AA' et BB\ on a les asymptotes OC et OD. Or, le diamètre cherché ON est le conjugué harmonique du diamètre donné OM par rapport à l'angle COD dos asymptotes; on aura donc un point K de ce diamètre ON, en menant une parallèle à OD, et en portant sur cette ligne, à partir du point I où elle coupe OC, un segment IK égal et opposé au segment IG intercepté dans l'angle COM.

Pour l'ellipse, on opère de même. Seulement, après avoir trouvé lo point K, on mène par ce point une parallèle à OA, jusqu'à sa rencontre 11 avec OB, et Ton prolonge RH d'une quantité ^égale HK'.

4l4 GftOMÊTRIB DAXS l'bSPàCE.

OK' sera le diamèlre conjugué de OM. En effet, prenons pour a\c? coordonnés les droites OA et OB, et soient x et^ les coordonnées d'un point quelconque de OM, xi eijn les coordonnées du point K, x' et,», les coordonnées du point K'. Puisque OK est le conjugué de OM dan^ rhyperbole qui a pour diamètres conjugués

OA = a'

et