OF OD

D ailleurs, puisque GP est la polaire de F, on a (i) OF.OD^^a'.

Hn multipliant (i) et (a), on obtient

Of' = «» - p\ d'où OF -= ± )/x' -p.

Il y a donc sur Ou deux foyers qui sont réels ou imaginaires, suivant que a est supérieur ou inférieur à p. Ainsi, Tellipse a deux foyers réels sur le grand axe et deux foyers imaginaires sur le petit axe; et, si l'on désigne par a, 6, r, le demi-grand axe, le demi-petit axe et la demi-distanoe focale OF, on a

Considérons maintenant Vhfperboie, — Soient 0 le centre; Ou et Op

U. 01 M C. — Tr. d9 Géom. (Il* Partie). 2^

Ai8

GEOMETRIE DAX8 L^ESPAGB.

les directions des deux axes dont nous désignerons les demi-ionguears (1149) par a et P; 01 une asymptote; F un point quelconque de l'axe 0//, et GD la polaire du point F par rapport à Thyperbole (fig. SgS). Menons FQ parallèle à 0>; le pôle de FQ sera sur la polaire G D de F et

Hç. 5g5.

sur la polaire du point à Tinfini de FQ ou de 0^^ c'est-ft-dire sur OX puisqu'une asymptote est sa propre conjuguée; ce sera donc le point G commun à 0> et à GD, de sorte que FG sera la conjuguée de FQ. Donc, pour que le point F soit un foyer, il faut et il suffit que Tangle GFQ soil droit, c'est-à-dire qu'on ait

Mais on a

DF = DG.QD.

Op DG p "DF ■" ÔD *" i'

On en déduit, comme ci-dessus,

doù

OD " a» ' OD "" «» ■

D'ailleurs, puisque GD est la polaire de F, on a (a) OD.OF=±a»,

le signe convenable étant -t- si Ou est Taxe transverse, et — si On est l'axe non transverse. En multipliant (i) et (2), on obtient

0F'=db(a»-4.f») d'où 0F=:±:v'dt(«>-t.6>).

Ainsi, rhyperbole a deux foyers réels sur Paxe transverse et deux