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0/1. 0/i' Op.Op*

Or les dénominateurs sont égaux l'un et l'autre à OC , puisque n et n* sont conjugués par rapport à la conique aussi bien que p et p'. Les numérateurs doivent donc être égaux, et Ton a

0/it.O/it's= c*.

Donc le segment compris entre les detix foyers situés sur un même axe est fliçisé harmoniquement par tout couple de droites conjuguées rectan^ pilaires p ou, en d'autres termes, les divers couples de droites conjuguées rectangulaires déterminent sur chacun des axes de la conique une inço" iution dont lé point central est le centre de la conique, et dont les points doubles sont les foyers réels ou imaginaires appartenant à cet axe*

420 GÉOMÉTRIE DANS L*B5PACB.

1157. Quand nous parlerons désormais des deux foyers d*uiie cooiqœ, il 8*agira, à moins d'avertissement contraire, des deux foya« réels.

Les deux droites conjugujées rectangtdaires qui passent par un point quelconque du plan d^une conique sont les bissectrices des angles former par les droites qui unissent ce point aux deux foyers. Car ces quatrv droites, divisant harmoniquement Taxe focal, forment un faisceau barmo» nique, et, comme les deux premières sont rectangulaires, elles sont \^ bissectrices des angles formés par les deux autres.

En particulier, si le point considéré appartient à la conique, les detii droites conjuguées rectangulaires qui passent par ce point sont la tangente et la normale. Donc, dans toute conique à centre^ la tangente et la normale sont les bissectrices des angles que forment les deux rayons vecteurs menés de ce point aux deux foyers.

Dans Tellipse comme dans Thyperbole, les deux foyers réels sont à Tintérieur de la courbe ; cela résulte des formules du n*" 1155. Quant au centre, on sait qu'il est intérieur pour l'ellipse et extérieur pour l'hyperbole. — Il suit de là que, si M est un point de la conique, et si F et F' sont «e^ foyers, le triangle MFF' est intérieur à l'ellipse, tandis que pour l'hyperbole il est en partie intérieur et en partie extérieur. Donc, si, parlant du point M, on veut, en se déplaçant un peu sur les droites MF et BfF', resitr à Fintérieur de la courbe, il faudra se déplacer, pour l'ellipse, dans le sens de MF et de MF', et, pour l'hyperbole, dans le sens de Tune de cc^ droites et dans le sens opposé à l'autre.

Comme, dans tous les cas, la tangente en M est extérieure à la courbe, on voit que dans Tellipee la tangente est en dehors de l'angle FMF' de^ deux rayons vecteurs, tandis que dans l'hyperbole la tangente est extérieure à l'angle formé par l'un des rayons vecteurs et par le prolongemenl de l'autre ; en d'autres termes, la bissectrice de l'angle FMF' est dans Tellipse la normale en M, et dans l'hyperbole la tangente au même point.

1158. La polaire d'un foyer prend le nom de directrice.

L'ellipse et l'hyperbole ont donc chacune deux directrices DHD,, D'H'D', {Jig, 597], qui sont perpendiculaires à l'axe A'OA qui contient le? foyers réels ; elles sont situées de part et d'autre et à égale distance du centre, extérieurement à la courbe, puisque les foyers réels qui en sont les pôles sont intérieurs (1138). Les points A', F, A, H, formant un système harmonique, on a

Ôî* = OF.OH, d'où l'on déduit

pour la distance du centre aux directrices.