MI NI
ou
MP
NO
MF
InF
Pour trouver la valeur constante du rapport rip > il suffit de considérer
le point B; sa distance au foyer est égale à <?, et sa dislance à la direc-
trice est 011 =r : le quotient est - ; on le désigne habituellement par r,
et on lui donne le nom d'excentricité; il est moindre que un pour Tellipso et plus grand que un pour l'hyperbole.
ii59. Dans l'ellipse la somme y et dans l'hyperbole la différence des rayons vecteurs MF r/ MP, qui joignent un point quelconque fA de Ut courbe aux deux foyers, est constante.
Car, des relations
M F r MF' /•
m*~7i' MP' "tf'
4^3 GfiOHÉTRIB DANS l'eSPACB.
on déduit
MF -4- MF c MF - Mr e
^'' MP-hMF~// Ml'-MP'~ô'
Or, dans Tellipse, MP -+- MP' = HH' = a — 5 donc, en vertu de la premiête
des égalités (t),
MF -f. MF =2/7.
Dans rhyperbole, MP — MP' = HIl' = 2-71 donc, en vertu de la seconde
des égalités (1),
MF-MF = a«.
On retombe ainsi sur les définitions élémentaires de ces courbes, fi Ton peut dès lors regarder comme acquises les propriétés et les constrOctions établies aux §§ I, II, IV du Livre VIII.
llf 0. Considérons maintenant la parabole.
Le centre, qui est le point central de Tinvolution tracée sur Taxe AX {fig. 593) par les pieds des divers couples de droites conjuguées rectangulaires, élantà rinfini, Tinvolutiona Tun de ces points doubles à Tinfini^et l'autre point double est le /o^^r unique de la parabole. // dhise en deux parties égales (1114) le segment intercepté sur le grand axe par deux droites conjuguées rectangulaires quelconques, et en parliculier/Mrr la tangente et la normale en un point quelconque de la parabole; d'où Ton conclut (339) que ^ tangente et la normale en un point quelconque tle la parabole sont les bissectrices des angles formés par la parallèle n taxe menée par ce point et le rayon vecteur mené de ce point au foyer ^
La directrice ou polaire du foyer est perpendiculaire à Taxe, et extérieure à la courbe, puisque son pôle est intérieur comme doit Tétre tout foyer réel (il5S). Le foyer et la directrice sont d'ailleurs à égale distance du sommet (1158).
On voit, comme au numéro précédent, que : \* la polaire d*un point quelconque de la directrice est perpendiculaire sur la droite qui Joint ce point au foyer; 2' la droite qui joint le foyer à ^intersection de la direc' trice et d'une conle quelconque de la parabole est la bissectrice du snpplément de V angle formé par les rayons vecteurs des points où la corde coupe la parabole.
On en déduit que le rapport tles distances d*un point quelconque de la parabole au foyer et à la directrice est constant ; comme le sommet est équidistanl du foyer et de la directrice, la constante est égale à un; donc tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice. On
