LIVRE Vlli. — LES COURBES USUELLES

retombe ainsi sur la définition de la parabole donnée au n"" i027, et nous pouvons alors regarder comme acquises toutes les propriétés et toutes les constructions données dans les §§ III et V. En particulier, le paramètre p représente la distance du foyer à la directrice; il est aussi égal à la sousnormale comptée sur i'axe, c'est-à-dire à la partie de Taxe comprise entre les pieds de Tordonnée et de la normale. (Il importe de remarquer que, lorsque la parabole est rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente correspondante, la sous-tangente est toujours double de l'abscisse, mais la sous-normale n'est plus constante et égale au paramètre; cette dernière propriété n'est vraie que dans le cas où la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet. )

1161. Lorsque plusieurs coniques ont les deux mêmes foyers, on dit qu'elles sont confocales.

Deux coniques confocales ont le même centre, et leurs axes sont dirigés suivant les mêmes droites; elles ont aussi les mêmes systèmes de droites conjuguées rectangulaires (llb5).

Deux ellipses, deux hyperboles, une ellipse et une hyperbole peuvent être confocales ; mais une parabole ne peut être confocale que d'une parabole.

Si par un point on mené rteux tangentes a une conique et fleux tangentes à une conique confocale, les angles des deux premières tangentes et les angles des deux autres ont les deux mêmes bissectrices.

Par un point P du plan d*ttne conique, on peut mener deux coniques confocales avec la première; ce sont une ellipse et une hyperbole si la conique primitive est une ellipse ou une hyperbole; ce sont deux paraboles de sens opposés si la première conique est une parabole. — Ces deux coniques se coupent orthogonalement, car leurs tangentes au point P sont les bissectrices des angles que forment les droites menées de ce point P aux deux foyers de la conique primitive.

1162. Les foyers jouissent de propriétés caractéristiques autres que celle qui nous a servi à les définir, et qui méritent d'être rapportées, nonseulement parce qu'elles sont très -utiles dans les recherches géométriques, mais encore parce qu'elles permettent de généraliser l'idée de foyer et d'étendre cette conception aux courbes d'ordre quelconque.

1* Considérons une conique quelconque C , intersection d'un cône de révolution par un plan P et une sphère inscrite dans ce cône. Soient Q le plan du cercle de contact de la sphère et du cône, 7 le cercle intersection de la sphère et du plan P, et D la droite commune aux plans P et Q.— D'abord, il est aisé de voir que le cercle 7 passe par les points let r (réels ou imaginaires) où la droite D rencontre la conique C; en elîet, les points I et T appartiennent d'une part au plan P, et, d'autre

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part, à la sphère, puisque, faisant partie à la fois du cône et du pian Q. ils sont sur le cercle de contact du cône et de la sphère. — En second lieu, la conique C et le cercle 7 se touchent en I et en F; en eflet, la tangente en I à la conique est l'intersection du plan P et du plan tangent au cône ; la tangente au cercle 7 est l'intersection du plan P et du plan langent en I à la sphère; or, le point 1 étant sur le cercle de contact du cône et de la sphère, les deux plans tangents en question coïncident.

En résumé, le cercle 7 a un double contact (réel ou imaginaire) aver la conique C, et la droite des contacts est la droite D. — Faisons mainte* nant varier la sphère inscrite jusqu'à ce qu'elle touche le plan P; !<" rayon du cercle deviendra nul, ce cercle se réduira à un point qui est (1086) un foyer, et la droite D deviendra la directrice relative à ce foyer. On est ainsi conduit à regarder le Joyer d'iine conique comme un cercle de rajron nui doublement tangent n la conique ; la corde des con' tacts est la directrice relative h ce foyer,

7^ On sait (ilii ) que, si l'on a dans un même plan des angles d^um' même grandeur et placés d'une manière quelconque, pourvu qu'ils soient formés dans le même sens de rotation, leurs côtés tracent sur la droit** à l'infini deux divisions homographiques dont les points doubles sont, quelle que soit la grandeur commune de ces angles, les points cycliques du plan. Si les angles sont droits, les deux divisions homographiques forment une involution; donc, les points cycliques d'un plan divisent harmoniquement le segment intercepté sur la droite à l'infini par un angle droit situé d'une manière quelconque dans ce plan.

Cela posé, considérons plusieurs couples de droites conjuguées issu(>s d'un même point du plan d'une conique ; ces divers couples forment (1138) un faisceau involutif dont les rayons doubles sont les tangentes réelles ou imaginaires menées à la conique par le point considéré. Si ce point est un foyer, tous les couples de droites conjuguées sont rectangulaires, ei, par suite, d'après l'alinéa précédent, les rayons doubles du faisceau, c'est-à-dire les tangentes imaginaires menées à la conique par le foyer, passent par les points cycliques du plan. Ainsi, on peut considérer ^ foyers comme fies points tels que les tangentes à la conique menées par ces points passent par les points cycliques du plan.

Des deux points cycliques on peut mener à la conique deus couple» de tangentes, dont Tensemble forme un quadrilatère imaginaire ctrcon* scrit à la courbe; les deux diagonales de ce quadrilatère sont les axes, et ses quatre sommets, dont deux réels et deux imaginaires, sont les foyers. La parabole étant tangente à la droite de l'infini, un foyer réel est à Tinfini, les. deux foyers imaginaires sont les points cycliques, el il ne resie plus qu'un foyer réel à distance finie.

11 résulte de là : i" que deux coniques qui ont xxn foyer comnmnoiu

LITRE Ylll. — LES COURBES USUELLES. i'i^i

fiatx tangentes communes passant par ce foyer; ce sont les droites qui vont de ce foyer aux points cycliques du plan; les cordes de contact sont les directrices de l'une et de Fautre conique relatives à ce foyer ; a* que deux coniques confocales, c'est-à-dire qui ont deux foyers communs, ^017/ inscrites dans le même quadrilatère imaginaire.

Cette notion très-féconde des foyers considérés comme des points tels que les tangentes correspondantes passent par les points cycliques du plan est due au géomètre PlUcker (Journal de Crelle, t. X), qui a ainsi pu étendre l'idée de foyer aux courbes algébriques d'ordre quelconque : on appelle foyers d^une courbe plane d* ordre quelconque les points communs aux tangentes menées à la courbe par les points cycliques de son plan.

4i63. Voici quelques formules utiles :

I "^ Considérons une ellipse rapportée à son centre 0 et à ses axes OA — ^ et OB = A ijig, 598) : ]M étant un quelconque de ses points, soient x et j ses coordonnées OP et MF, p et o' les deux rayons vecteurs MF et MF', et b' la longueur du demi-diamètre conjugué de OM. Menons la tangente TMT' et la normale MNN', la perpendiculaire MD sur la directrice, et les perpendiculaires OB, FK, F' K', abaissées du centre et des foyers sur la tangente.

On a

(11 p T r ti — cx^ u* -- n-^r ex^ b*^ — «*— c'.r*= pp',

(0 OT--^, or- , PM = ÎÎ — ^,

(3) ON--,.r, ON'--^|r. PN^^x,

( 4 ) MN - - yf^' = —, MN' - '/ yj^u' = ^\ MN . MN' = U\ a ^^ a b ^^ b

La première des formules (1) résulte de la relation

FM-=r.MD = ^(OU-OP).

La troisième des formules (i) s'obtient en faisant la somme des carrés des valeurs ( 8 ) du n** 1 i 4 /, et en ayant égard à la position du point M sur l'ellipse. — Les formules (a) sont une conséquence de la théorie des pôles et polaires. — La première formule (3) i*ésulte de la théorie des foyers, et la seconde de la similitude des triangles ONN', NPM. — On obtient la première formule ( 4 ) en appliquant la formule du n"" 238, et la seconde résulte de la similitude de:« triangles ONN', NPM. — Enfin, les deux premières formules (5) s'obtiennent à Taide du théorème du

GtOHÉTRIB DANS l'bSPACR.

n*" 995 et de la similitude des triangles FMK, F'MR', qui donne le rapport de FR à F'K'; la troisième s'en déduit en prenant la demi-somme.

ti" En changeant ^ en — 6', on a des formules analogues pour Vhy perbole.

3° Considérons une parabole rapportée à son axe âjt et à la lao* gente A^ au sommet (fig. 599). M étant un quelconque de ses poini$. soient xeiy ses coordonnées AP et MP, p le rayon vecteur MF, p le paramètre FH — 2AF, et 0 rinciinaison de la tangente MT sur l'axe. Menons la normale MN, et abaissons la perpendiculaire FK du foyer sur la tangente MT.

On a

TP^ar, PN=/[i, TN=/>-+-j:, 0 = FI' ^ -TN = ^' --x. Le triangle rectangle FTK donne ensuite

lK^ = TF.TA = px, Kf' = FT.AF= ^p,

d'où

MT -= tipj*. MN =r/?p.

Enfin, dans le triangle rectangle TMN, on a

tangG =s