UVRB VIII. — LES COURBES USUELLES

fixe k de la circonférence^ cette corde enveloppe un cercle concen^ trique.

Les projections d*un point A d^une circonférence de cercle sur les côtés dUin triangle inscrit quelconque sont en ligne droite.

parabole est une conique ayant le même foyer et la même directrice.

Si, par les sommets d'un triangle circonscrit à une parabole, on élève des perpendiculaires sur les droites qui Joignent ces sommets au foyer F, les trois perpendiculaires concourent en un même point I.

Dans les deux derniers exemples, on a pris pour origine le point A ; et, comme ce point est sur la circonférence, la transformée de cette circonférence est une parabole. Observons, en outre, qu'en vertu du dernier théorème oblenu, si Ton décrit un cercle sur FI comme diamètre, ce cercle passera par les sommets du triangle circonscrit ; de là celte proposition : Le lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites fixes est le cercle circonscrit au triangle formé par ces trois droites.

H65. La polaire réciproque d'une conique C par rapport à un cercle auxiliaire 0 est une conique C.

En effet, la conique C peut élre considérée (ll'M)) comme l'enveloppe des droites mm' qui joignent les points homologues m et m de deux divisions homographiques tracées sur deux tangentes Gxes L et L'. Or, soient \ V, fi, les pôles des tangentes fixes L et L' et de la tangente mobile /n/ii'; les droites V» ^V» décriront deux faisceaux homographiques. Car les droites issues de ^ répondant anharmoniquement aux points de la division L, et les droites issues de V aux points de la division L' (1 108), quatre droites quelconques issues de À auront même rapport anharmonique que les quatre droites homologues issues de \\ attendu que quatre points quelconques de la division L ont même rapport anharmonique que les quatre points homologues de L'. Donc le lieu des points /x est une conique qui passe par les points > et X' (1131, a'*).

A chaque propriété des coniques en répondra dès lors une autre par la méthode des polaires réciproques.

Voici des exemples :

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle.

Le lieu des prcjections d* un foyer

Vcnveloppe des cortles tl'une CO' nique, qui sont vues sous un angle droit d*un point fixe du plan de la conique, est une autre conique dont ce point fixe est le foyer.

Si par cfuique point d'un cercle

43o GÊOHfiTIIIE DANS L'ESPACB.

sur les tangentes d^ une ellipse ou d*une hyperbole est un cercle.

on élèt^e une perpendiculaire sur la droite gui /oint ce poini à un jfoint fijce^ V enveloppe de ces jicrpendicn'laires est une conique dont ce potat

fixe est le foyer.

il66. Reportons-nous au théorème du n*" 353. Si, sans rien changer au raisonnement, on avait pris pour origine de la transformation un point quelconque au lieu du centre du cercle circonscrit au quadrilatère, on aurait obtenu pour théorème corrélatif :

Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique, le produit des diitances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est tians un rapffort constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangente.

Cette dernière proposition, transformée à son tour par la méthode des polaires réciproques, donne alors :

Dans tout quadrilatère inscrit à une conique, le produit des distances dUin point quelconque de la conique à deux côtés opposés est dans un rapport constant avec le produit des distances du même /wint aux deux autres côtés.

Ce théorème est attribué à Pappus. On doit remarquer la manière dont nous Tavons obtenu et qui consiste dans une double application de ia méthode des polaires réciproques.

Les explications données au n" 353 permettront au lecteur de voir luimême comment ces théorèmes peuvent se généraliser et s'étendre à des polygones. Nous appellerons ici, au contraire, Tattention sur un cas particulier. Lorsque deux côtés opposés du quadrilatère inscrit deviennent tangents à la conique, les deux autres se confondent avec la corde de contact, et le théorème de Pappus devient le suivant : Le produit des distances d'un point quelconque d'une conique aux deux côtés ePun angle circonscrit est dans un rapport constant avec le carré de la distance du même point à la corde de contact. Le théorème corrélatif s*énonc6 : Le produit des distances de deux points fixes d^une conique à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de la distance de f intersection des tangentes aux deux points fixes à la même tangente variable; il résulte immédiatement de la propriété des quadrilatères cir« conscrits, lorsque Ton suppose que deux côtés adjacents du quadrilatère viennent se confondre avec les deux autres.

il67. On peut généraliser toute cette théorie en substituant ao oerck

auxiliaire, par rapport auquel on prend les pôles, une conique auxiliaire :

La courbe polaire réciproque d*une conique quelconque par rap*

LlVaB TlII. — LES COURBES USUELLES. 43 1

porl à une coniqfie auxiliaire est encore une conique. La démoDSlralion du n* i 165 s'applique sans modiGcations.

La méthode ainsi généralisée se prête avec la même facilité à la transformation des propriétés descriptives; mais il n'en est plus de même pour les propriétés métriques, et, quand il s'agit de transformer de telles propriétés, il convient de prendre un cercle auxiliaire.

La transformation par polaires réciproques, avons-nous dit au n* 349, laisse ignorer comment on pourrait démontrer directement les propositions que l'on découvre de la sorte. Ce reproche ne s'adresse qu'à la manière dont on applique ordinairement la méthode, eu se bornant à transformer les énoncés ; mais, en réalité, comme l'a montré M. Mannheim ( Transformation des propriétés métriques^ 18^7)» la méthode se prête à la transformation des démonstrations. Une démonstration n'est, en effet, qu'une chaîne de propositions qu'il suffît de transformer une à une pour avoir les anneaux successifs de la chatne qui constitue la démonstration directe. Cest ainsi que nous avons procédé en définitive aux n"* 326 et 327, 328 et 329, etc.

1168. Deux courbes polaires réciproques sont telles, que chacune d'elles est coupée par une droite quelconque en autant de points (réels ou imaginaires) qu'on peut mener de tangentes (réelles ou imaginaires) à l'autre par un point donné quelconque. On nomme classe d'une courbe algébrique le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu'on peut mener à cette courbe d'un point quelconque. D'après cela, on peut énoncer la propriété précédente de cette manière plus concise : Quand deux courbes sont polaires réciproques^ tordre de rune est égal à la classe de l'autre.

Les coniques sont des courbes de la seconde classe, et, inversement, toute courbe de la seconde classe est une conique.

D'après la déQnition que nous avons donnée au n*" il62 des foyers des courbes planes d'ordre quelconque, on voit qu'u/ie courbe de la classe n possède n^ foyers, puisque l'on peut mener à cette courbe n tangentes de chacun des deux points cycliques, et que ces deux faisceaux de n droites ont/t' points communs, dont n seulement sont réels; ce sont ceux qui sont founiis par la rencontre de deux tangentes imaginaires conjuguées.

Si la courbe est tangente à la droite de l'infini, le point de contact à l'infini est un foyer réel, et il n'y a plus que n ~ i foyers réels à distance finie. Quant aux foyers imaginaires, il y en a ( ^1 — 1 )' — (/i — 1 }, outre les deux points cycliques qui, par conséquent, tiennent lieu chacun de /i — 1 foyers.

43'i QtOMfiTRlB DANS l'bSPAGC.

PROPRIÉTÉS DES POINTS ET DBS DROITES IMAGfKAIRES.

Ii69. Nous avons expliqué (1044) commenl un syslème de deux quanlités réelles x et y y dites coordonnées , délermine la position d*UQ point du plan; oe point est dit réel. Par analogie, on dit que deux quaniitéâ imaginaires, x' et y, c'est-à-dire deux quantités de la forme

( i) x' — ^/ -H ^/, y = a' -H b'iy

où ^, by d y b\ désignent des nombres réels et i le symbole v^^^^, déterminent un point imaginaire dont elles sont les coordonnées. Deux point« sont appelés imaginaires conjugués lorsque leurs coordonnées sont respectivement imaginaires conjuguées ; ainsi le point imaginaire conjogvé de celui que déterminent les valeurs (i) a pour coordonnées

Nous avons vu (1134) qu'une équation du premier degré

(3) Ax-f-Bj-HC = o,

dont les coefficients A, B, C, sont réels, représente une ligne droite, ce qui veut dire que le lieu des points réels dont tes coordonnées satisfootà cette équation est une ligne droite. Par analogie, on nomme droite imaginaire l'ensemble des systèmes de valeurs imaginaires de x et de ^ qui satisfont à une équation du premier degré à coefficients imaginaires

Deux dh)ites sont appelées imaginaires conjuguées lorsque les ooefficients de leurs équations sont respectivement imaginaires conjugués; ainsi, la droite imaginaire conjuguée de celle qui a pour équation (4) est représentée par Téquation

(5) (A'-A''/)x-+-(B'-B''/)7-f-C'— CV=o.

De ces définitions, résultent les conséquences suivantes : i** Toute droite réelle contient (outre une infinité de points réels) une infinité de points imaginaires; car, pour toute valeur imaginaire attribuée à Xy l'équation (3) donne une valeur imaginaire correspondante de/, a" Une droite réelle qui contient un point imaginaire contient aussi son conjugué; car, si Ton exprime que les valeurs (i) ou les valeurs (a) satisfont À réquation (3), on trouve dans les deux cas les deux mêmes conditions

An -h B6 -t- C = o, Afl'-+- B^'= o.

LIYRB tlll. ~ LB8 COURBES USUELLES. 433

Réciproquement, ia droite qui contient deux points imaginaires conjugués est réelle; en effet, l'équation

représente la droite qui passe par les points réels ou imaginaires dont les coordonnées sont y ety, x* et y, attendu que cette équation est du premier degré et qu'elle est satisfaite soit par x^x' et j = y, soit par jc == x'et/ =y» Or, si les deux points sont imaginaires conjugués, c'està-dire sij/ et y, x' et^-* ont respectivement les valeurs (i) et (a), lasubsUtution de ces valeurs réduit l'équation à la suivante :

b'x-^ bx= ab'^ ba\

qui a ses coefficients réels.

3* Toute droite imaginaire contient un point réel et un seul, qui appartient aussi à sa conjuguée; car, pour qu*un couple de valeurs réelles de x et dej^ satisfosse à l'équation (4 ) ou à l'équation (5), il faut et il suffit que ces valeurs vérifient le système

(6) A'x-hB>-»-C'=o, A*x-hBVH-C'' = o.

Or ces équations, étant du premier degré, donnent pour x et j' un couple unique de valeurs réelles; l'une des coordonnées ou les deux peuvent être infinies; on dit alors que le point est à l'infini. Mais le système ne peut ôtre indéterminé, car on voit immédiatement que, si les équations (6) avaient leurs coefficients proportionnels, la droite (4) serait réelle. •

4** Les coordonnées du milieu de la droite qui joint deux points réels (•^'f y)» (^»y)i oï*' P<^"r expression

Par analogie, quand les points (x\ /), (x',/'), sont imaginaires, on dit encore que le point dont les coordonnées ( et n sont exprimées par ces formules (7) est le milieu de la droite qui joint les deux points. On voit immédiatement, par la substitution des valeurs (i) et (2), que le point milieu est réel si les deux points considérés sont imaginaires conjugués; il serait imaginaire si les deux points étaient imaginaires non conjugués.

S"* L'intersection de deux droites réelles est le point réel dont les coordonnées sont les valeurs de x et de / fournies par la résolution des équations des deux droites. L* intersection de deux droites imaginaires conjuguées est ausdi un point réel; car le système de leurs équations (4) et (5) peut, par addition et soustraction, être remplacé par le système (6), qui esta coefficients réels. — Mais deux droites peuvent évidemment se couper

R. et DR C. — Tr. de Géom, (If Partie). a8

""(34 CiÊOHÊTniE DAMS L*ESPACB.

en un point réel sans être réelles ou imaginaires conjuguées; par exemple, les deux droites imaginaires non conjuguées /=(«H-p/)x, y=[y -h^i)x passent l'une et Taulre par l'origine.

Telles sont les notions fondamentales sur lesquelles repose rintroducticm des imaginaires en Géométrie. 11 serait vain de vouloir le déguiser : c'est l'Analyse qui fournit ces principes; puis, la Géométrie s'en empare et en développe les conséquences avec les moyens qui lui sont propres, comme nous allons le voir dans l'étude de la question suivante.