CORDES ET TANGENTES COMMUNES A DEUX GONIQUBS

H70. Deiuc coniques quelconques, situées dans un même plan, oui:

i" Quatre points communs réels ou imaginaires conjugués;

a" Trois sjrstèmes de deux cordes communes, dont l'un au moinj est récL

En effet :

I** En éliminant y^ entre les équations du second degré qui représentent les deux coniques, on obtient une équation où ^ ne 6gure qu'an premier degré et que nous désignerons par (y) ; puis, en substituant cette valeur de y dans Tune des deux équations primitives, on trouve une équation du quatrième degré en x, que nous désignerons par (x), et dont les racines sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Si l'équation (x] a ses quatre racines réelles, Téquation [y) donne pour chacune de ces valeurs de x une valeur réelle de/; et, par suite, les deux coniques ont quatre points communs réels, — Si l'équation (x) a deux racines réelles et deux racines imaginaires (conjuguées), Téquation [y] donne pour y deux valeurs réelles et deux valeurs imaginaires (conjuguées) ; et, par suite, les deux coniques ont deux points communs réels et deux points communs inutginaires (conjugués), — En6n, si l'équation (x) a ses quatre racines imaginaires (conjuguées deux à deux), Téquation (y] donne pour/ quatre valeurs imaginaires (conjuguées deux à deux) ; et par suite, les deux coniques ont quatre points communs imaginaires (conjugués deux à deux).

7k^ Si les deux coniques ont quatre points communs réels <?, 6, r, d (fig. 6oi), les trois couples ah etcd^ ac et bd, ad et bc^ de cordes communes sont évidemment réels.

Si les deux coniques ont deux points communs réels a et b^ et deus points communs imaginaires conjugués c et r/, la corde commune ab est évidemment réelle; cd l'est aussi, ^u\sqn*e\\e unit deux points imaginaires conjugués. Les autres cordes communes ac et bd^ ad et bc sont imaginaires; car, si la droite ac, par exemple, était réelle, le point d'intersection des deux droites réelles ac et cd serait réel. — Il convient d'obserfer que tes

LIYBB TIII. — LBS COUBBES USUELLES.

deux droites imaginaires d*un même couple ac et bd ou ad et bc ne sont pas conjuguées ; car, si ac et bd l'étaient, leur point d'intersection// serait réel, et chacune de ces droites, ayant deux points réels a et p' ou 6 et/?', serait réelle. La conjuguée de ac est évidemment ad^ et celle de bd est bc.

Si les deux coniques ont quatre points communs imaginaires conjugués deux à deux a et ^, cr et </, les cordes communes ab et cd sont réelles y puisque chacune aura deux points imaginaires conjugués ; les autres cordes communes ac et bd^ adei be^ sont imaginaires; car si, par exemple, ac était réelle, les points a et c où elle coupe respectivement les droites réelles a6 et r</ seraient réels. Ici, les droites imaginaires d'un même couple, ac et bd ou ad et bc^ sont conjuguées; car on passe, par exemple, de ac à bd en remplaçant a par son conjugué b eic par son conjugué d.

En transformant la proposition précédente par la méthode des polaires réciproques et donnant le nom d'ombilic à tout point d'intersection de deux tangentes communes, on voit que :

Deux coniques ont :

1® Quatre tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées}'. • %^ Trois sjrstémes de deux ombilics, l'un au moins de ces systèmes étanl réel.

Si iM quatre tangentes communes oLy ^,7, i^ sont réelles^ les trois couples

Fig. 601.

d'ombilics sont réels {Jig. 601 )• En désignant le point commun à deux

4S6 6É0IHÊTRIB DANS l'eSPàCS.

droites L et L' par la notation (L, L'), le premier couple est formé par A ou (a,P) et A, 00 (7, J), le second couple par B ou («,7) et B, oa (p, 9), le troisième par C ou («, 9) el C, ou (P, 7).

Si le quadrilatère circonscrit a deux côtés réels xet^et deux imaginairts conjugués 7 et 9^ ou encore si le f/uadrilatère a ses côtés imaginaires confugues deux à deux ot et p, f et 9^ il r^y a qi/^un cottple ^ombilics réels \ c'est le couple A ou (a, 3) et A^ ou (7, 9\

1171. On nomme /m5^ double tout point du plan de deux coniqoes qui a la même polaire par rapport à ces deux courbes {fig* 601).

Soient p le point commun aux cordes ah et cd^ p* le point d'intersection de ac et de bd^ et p' le point de rencontre de ad et bc. Chacun des sommets do triangle pp*p^ est évidemment le pôle do côté opposé par rapport aux deux coniques. Ainsi, tout point d* intersection de deux cordés communes est un pôle double (ou un point commun aux deux coniqoes '. Réciproquement, tout pôle double est l'intersection de deux cordes con.munes; en effet, soit /?, un pôle doubla, et a, a' les points où p^a rencoDtri* pour la seconde fois chacune des coniques; le point p^ devant avoir le même conjugué harmonique par rapport aux deux segments a^ei aa\ il faut que a et a' coïncident, c'est-à-dire se confondent avec Tun des points by c, d, avec c par exemple; ainsi le point ;?, est sur or; on verrait de mémo quMl est sur bd\ il est donc à la rencontre de deux cordes eommones.

Les trois seuls pôles ebubles sont donc les sommets da triangle pp'p'* ils sont évid&Bomeai réels tous les trois, si les quatre points a^ b^ c, d^ ctmtmuns aux deux coniques sont tous les quatre réels. Ils le sont aussi qttami les points a, b^ c, d, sont tous imaginaires, car, alors, les deux cordes d*iin même couple sont réelles ou imaginaires oonjugoées. Mais, si les points aet b sont réels^ et c et d imaginaires con/ugués, le pôle double p est leseul réel; il est réel parce qu'il appartient aux deux cordes réelles 06 et ed\ et // et // sont imaginaires, car, si p\ par exemple, était réri, la droite ap ou ae serait réelle. Observons enfin que diacon des p61es doubles est le centre d'un faisceau harmonique formé par les deux côtés du triangle et les deux cordes communes qui passent par ce point.

On nomme polaire double toute droite qui a le même pôle par rapport anx deux coniques. Toute polaire double est la polaire d'on pôle dcoble, et réciproquement ; il n'y a donc que trois polaires doubles, dont une ton* jours réelle : ce sont les côtés do triangle pp'p^y aoquei on donne le nom de triangle {sutopolaire commun aux deux coniques.

Les trois diagonales P, P', P", du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes communes a, p, 7, ^, aux deux coniqoeat sont réelles si les quatre droites a, p, 7, 9, sont toutes réelles ou toutes imaginaires