IIVRB VIII. — LES COURBES USUELLES

(conjuguées). Si deux de ces langentes a et ^ sont réelles, et les deiux autres 7 et ^ imagioaires conjuguées, la diagonale P est seule réelle.

Ces diagonales P, F, P*, sont évidemment des polaires doubles; elles ne diffèrent donc pas des côtés du triangle pp^p"* En oulre, il résulte immédiatement de la construction de la polaire d'un point par rapport à deux droitesque les deux ombilics et les deux pôles doubles si tués sur un même côté du triangle autopolaire pp*p forment un système harmonique.

En résumé :

Si le triangle autopolaire pp'p' est entièrement réel, les deux coniques ont :

Soit quatre points communs réels et quatre tangentes communes réelles;

Soit quatre fx>ints communs imaginaires et quatre tangentes communes imaginaires ;

Soit quatre points communs réels et quatre tangentes commîmes imaginaires;

Soit quatre points communs imaginaires et quatre tangentes communes réelles;

Et si le triangle autopolaire n^a de réels qiCun sommet p et le côté op^ posé P, les deux coniques ont :

Deux points communs réels et deux points communs imaginaires, et en même temps deux tangentes communes réelles et deux tangentes com-muncs imaginaires.

Dans le troisième cas, l'une des coniques au moins est hyperbolique*

1172. Si deux points pris sur une corde commune sont conjugués par rapport à l'une des coniques^ ils le sont aussi par rapport à l'autre. Car, poisqu'ils sont conjugués par rapport à la première conique, ils divtseiH harmoniquement la corde commune, et, par suite, ils sont conjugués par rapport à la seconde conique.

Réciproquement, si, sur une droite située dans le plan de deux coniques; il existe deux couples de points a et ci ^ h et b\ tels que les deux points d'un même couple soient conjugués à la jois par rapport aux deux coni» ques, cette droite est une corde commune aux deux coniques. Car las points de chacune des deux coniques situées sur la droite sont les deui points réels ou imaginaires qui divisent harmoniquement le segment aaf et le segment bh\

Les propositions corrélatives s'énoncent de la manière suivante :

Si deux droites issues d'un ombilic sont cof^uguées par rapport à l'une des coniques^ elles le sont aussi par rapport à rautre.

Si par un point du plan de deux coniques passent deux couples de droites A et k\ B et B', situées dans ce fdan et telles que les deux droites de chaque couple soient conjuguées par rapport aux deux coniques, ce point est un ombilic

438 GÉOMÉTRIE DANS l'bSPACB.